Studiare il sistema al variare di k su R
Ciao ragazzi.. volevo sapere come procedere per risolvere questo esercizio..
Studiare il sistema al variare di k su R
$\{(2x + ky + 6z = 2-k),(x + 3y -z = -1),(2x + y + 2z = 1):}$
Devo studiare quando il sistema è compatibile?
Studiare il sistema al variare di k su R
$\{(2x + ky + 6z = 2-k),(x + 3y -z = -1),(2x + y + 2z = 1):}$
Devo studiare quando il sistema è compatibile?
Risposte
Spostato nella sezione giusta.
devi studiare il determinante della matrice incompleta e verificare per quali k si annulla
ok quindi
$((2,k,6),(1,3,-1),(2,1,2))$
Il determinante è $-16-4k$
Quindi si annulla per $k=-4$
Ora ?
$((2,k,6),(1,3,-1),(2,1,2))$
Il determinante è $-16-4k$
Quindi si annulla per $k=-4$
Ora ?
fai il teorema di rouche capelli:
quindi per k diverso da -4 il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta che è uguale a 3 quindi 1 soluzione
mentre per k=-4 devi andare ad esaminare cosa succede al rango della matrice completa e incompleta
quindi per k diverso da -4 il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta che è uguale a 3 quindi 1 soluzione
mentre per k=-4 devi andare ad esaminare cosa succede al rango della matrice completa e incompleta
Il determinante della matrice incompleta con k=-4 mi da 0 quindi non sono linearmente indipendenti è ho infinite soluzioni giusto?
Mentre per quanto riguarda la matrice completa
$((2,-4,6,-2),(1,3,-1,-1),(2,1,2,1))$
Non riesco a ridurla a scalini (si può fare invece di trovare il determinante vero?)
Ho sottratto la prima dalla terza e ho ottenuto
$((2,-4,6,-2),(1,3,-1,-1),(0,5,-4,3))$
Mentre per quanto riguarda la matrice completa
$((2,-4,6,-2),(1,3,-1,-1),(2,1,2,1))$
Non riesco a ridurla a scalini (si può fare invece di trovare il determinante vero?)
Ho sottratto la prima dalla terza e ho ottenuto
$((2,-4,6,-2),(1,3,-1,-1),(0,5,-4,3))$
il determinante sappiamo che viene 0 ma a te serve il rango della matrice incompleta e nel tuo caso
$ ( ( 2 , -4 , 6 ),( 1 , 3 , -1 ),( 2 , 1 , 2 ) ) $
sommi alla prima e terza la seconda equazione moltiplicata per -2
$ ( ( 1 , 3 , -1 ),( 0 , -10 , 8 ),( 0 , -5 , 4 ) ) $
come vedi la seconda e terza riga sono proporzionali quindi r(A)=2
adesso vediamo con la matrice incompleta
$ ( ( 2 , -4 , 6 , 6 ),( 1 , 3 , -1 , -1 ),( 2 , 1 , 2 , 1 ) ) $ che equivale a $ ( ( 1 , 3 , -1 , -1 ),( 0 , -5 , 4 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
quindi r(A')=3
in conclusione r(A)diverso da r(A') nessuna soluzione (calcoli giusti permettendo)
$ ( ( 2 , -4 , 6 ),( 1 , 3 , -1 ),( 2 , 1 , 2 ) ) $
sommi alla prima e terza la seconda equazione moltiplicata per -2
$ ( ( 1 , 3 , -1 ),( 0 , -10 , 8 ),( 0 , -5 , 4 ) ) $
come vedi la seconda e terza riga sono proporzionali quindi r(A)=2
adesso vediamo con la matrice incompleta
$ ( ( 2 , -4 , 6 , 6 ),( 1 , 3 , -1 , -1 ),( 2 , 1 , 2 , 1 ) ) $ che equivale a $ ( ( 1 , 3 , -1 , -1 ),( 0 , -5 , 4 , 3 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ) ) $
quindi r(A')=3
in conclusione r(A)diverso da r(A') nessuna soluzione (calcoli giusti permettendo)
nota bene l'elemento di posto(1,4) è:
2-k=2-(-4)=6
2-k=2-(-4)=6
ho capito.. grazie!
e per determinare la soluzione nel caso di k diverso da -4?
e per determinare la soluzione nel caso di k diverso da -4?
la soluzione è una sola se vuoi una specifica puoi usare la regola di cramer
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