Stranezza in un problema di geometria...
Sottopongo alla vostra attenzione il testo di un problema di geometria che sto affrontando:
Ora balza subito all'occhio che se l'asse $x'$ ha equazione $x+y-2=0$ (e quindi una retta con coefficiente angolare -1)l'asse y' dovrebbe essere una retta che perlomeno ha coefficiente 1....invece dice che l'asse è parallelo alla retta $x-2y+7=0$ che ha coefficiente angolare 1/2.....ora nn so....si tratta forse di un problema affrontato in un sistema di riferimento diverso dove gli assi non sono ortogonali? Se si tratta di ciò posso subito attaccarmi al primo tram che passa
Fissato nel piano affine usuale $E^2$ un riferimento affine $RA(O,x,y)$, sia $RA(O',x',y')$ il riferimento affine di $E^2$ definito dalle condizioni: l'asse $x'$ è la retta di equazione $x+y-2=0$; l'asse $y'$ passa per il punto $A=A(0,1)$ ed è parallelo alla retta $x-2y+7=0$; la retta $x'+y'=1$ ha equazione $x-5y+5=0$. Scrivere le formule del cambiamento delle coordinate.
Ora balza subito all'occhio che se l'asse $x'$ ha equazione $x+y-2=0$ (e quindi una retta con coefficiente angolare -1)l'asse y' dovrebbe essere una retta che perlomeno ha coefficiente 1....invece dice che l'asse è parallelo alla retta $x-2y+7=0$ che ha coefficiente angolare 1/2.....ora nn so....si tratta forse di un problema affrontato in un sistema di riferimento diverso dove gli assi non sono ortogonali? Se si tratta di ciò posso subito attaccarmi al primo tram che passa
Risposte
un riferimento affine di uno spazio è una coppia formata da un punto e da una base dello spazio vettoriale associato, non è necessario che la base dello spazio contenga vettori ortogonali fra di loro.
Ah ok....e per risolvere questo esercizio quindi come mi dovrei muovere?
La prima cosa da fare è trovare il secondo riferimento ovvero l'origine e i due vettori.
i due assi hanno equazioni ${(x': x+y-2=0),(y': x-2y+2=0):}$
l'origine che otteniamo intersecando i due assi è $O'=(2/3,4/3)$ (a meno di errori di conti)
ricorda che le coordinate di un punto $P$ in un sistema di riferimento ${O,v_1,v_2}$ sono le componenti del vettore $OP$ nella base ${v_1,v_2}$
il punto di intersezione tra l'asse $x'$ e la retta $x'+y'=1$ ha coordinate $(1,0)$ nel nuovo sistema di riferimento quindi se trovo il vettore $O'P$ nella base canonica ho il primo vettore della base, per trovare le coordinate nel vecchio sistema di riferimento interseco $x+y-2=0$ e $x-5y+5=0$ ed ottengo $(5/6,7/6)$
quindi il primo vettore del secondo sistema di riferimento è $(5/6,7/6)-(2/3,4/3)=(1/6,-1/6)$ (che è in effetti un vettore parallelo al primo asse)
il punto di intersezione tra l'asse $y'$ e la retta $x'+y'=1$ è $(0,1)$ nel secondo sistema di riferimento, nel vecchio interseco $x-2y+2=0$ e $x-5y+5=0$ ottenendo $(0,1)$
il secondo vettore del secondo sistema di riferimento è $(0,1)-(2/3,4/3)=(-2/3,-1/3)$
il secondo sistema di riferimento è $O'=(2/3,4/3)$, $v_1=(1/6,-1/6)$, $v_2=(-2/3,1/3)$
ora dobbiamo scrivere il cambiamento di coordinate, fissiamo un punto $P$ di cui conosco le coordinate $(x,y)$
$(x,y)$ è il vettore $OP$ io voglio il vettore $O'P$ scritto in componenti della base ${v_1,v_2}$ , dovrei fare solo $OP-OO'$ e portarlo nella base giusta
$OP-OO'$=$(x-2/3,y-4/3)$ nella base canonica, detta $M$ la matrice di cambiamento di base da ${e_1,e_2}$ a ${v_1,v_2}$ il cambiamento di coordinate è
ottengo $(x',y')=M(x-2/3,y-4/3)$
lascio a te calcolare $M$. Vedi un po' se ti torna, ciao
i due assi hanno equazioni ${(x': x+y-2=0),(y': x-2y+2=0):}$
l'origine che otteniamo intersecando i due assi è $O'=(2/3,4/3)$ (a meno di errori di conti)
ricorda che le coordinate di un punto $P$ in un sistema di riferimento ${O,v_1,v_2}$ sono le componenti del vettore $OP$ nella base ${v_1,v_2}$
il punto di intersezione tra l'asse $x'$ e la retta $x'+y'=1$ ha coordinate $(1,0)$ nel nuovo sistema di riferimento quindi se trovo il vettore $O'P$ nella base canonica ho il primo vettore della base, per trovare le coordinate nel vecchio sistema di riferimento interseco $x+y-2=0$ e $x-5y+5=0$ ed ottengo $(5/6,7/6)$
quindi il primo vettore del secondo sistema di riferimento è $(5/6,7/6)-(2/3,4/3)=(1/6,-1/6)$ (che è in effetti un vettore parallelo al primo asse)
il punto di intersezione tra l'asse $y'$ e la retta $x'+y'=1$ è $(0,1)$ nel secondo sistema di riferimento, nel vecchio interseco $x-2y+2=0$ e $x-5y+5=0$ ottenendo $(0,1)$
il secondo vettore del secondo sistema di riferimento è $(0,1)-(2/3,4/3)=(-2/3,-1/3)$
il secondo sistema di riferimento è $O'=(2/3,4/3)$, $v_1=(1/6,-1/6)$, $v_2=(-2/3,1/3)$
ora dobbiamo scrivere il cambiamento di coordinate, fissiamo un punto $P$ di cui conosco le coordinate $(x,y)$
$(x,y)$ è il vettore $OP$ io voglio il vettore $O'P$ scritto in componenti della base ${v_1,v_2}$ , dovrei fare solo $OP-OO'$ e portarlo nella base giusta
$OP-OO'$=$(x-2/3,y-4/3)$ nella base canonica, detta $M$ la matrice di cambiamento di base da ${e_1,e_2}$ a ${v_1,v_2}$ il cambiamento di coordinate è
ottengo $(x',y')=M(x-2/3,y-4/3)$
lascio a te calcolare $M$. Vedi un po' se ti torna, ciao
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