Strana matrice da diagonalizzare
sia $f in End (RR^3)$ ed $A=((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ la matrice ad esso associata rispetto alla base canonica $RR^3$
Determinarne la matrice diagonale D rappresentativa di $f$
Ma la matrice A in questo caso come si diagonalizza?
Determinarne la matrice diagonale D rappresentativa di $f$
Ma la matrice A in questo caso come si diagonalizza?
Risposte
Se noti la matrice $A$ in qualche modo è già diagonalizzata.... qui praticamente la $f$ porta un generico vettore della base canonica in un vettore della base canonica ($e_1$ va in $e_2$, $e_2$ va in $e_1$ ed $e_3$ va in $e_3$)... La matrice $D$ è la matrice identità e una base di autovettori è ${vec e_2,vec e_1, vec e_3}$ (che poi è la base di partenza ma cambiata di ordine.
"klarence":
Se noti la matrice $A$ in qualche modo è già diagonalizzata.... qui praticamente la $f$ porta un generico vettore della base canonica in un vettore della base canonica ($e_1$ va in $e_2$, $e_2$ va in $e_1$ ed $e_3$ va in $e_3$)... La matrice $D$ è la matrice identità e una base di autovettori è ${vec e_2,vec e_1, vec e_3}$ (che poi è la base di partenza ma cambiata di ordine.
Ah ecco
quindi è finito così?
In questo caso si.
"klarence":Scherzi?
Se noti la matrice $A$ in qualche modo è già diagonalizzata.... qui praticamente la $f$ porta un generico vettore della base canonica in un vettore della base canonica ($e_1$ va in $e_2$, $e_2$ va in $e_1$ ed $e_3$ va in $e_3$)... La matrice $D$ è la matrice identità e una base di autovettori è ${vec e_2,vec e_1, vec e_3}$ (che poi è la base di partenza ma cambiata di ordine.
La matrice identità [tex]I[/tex] è simile solo a se stessa, essendo [tex]M \cdot I \cdot M^{-1} = I[/tex] per ogni matrice invertibile [tex]M[/tex].
Il caso proposto non è diverso da qualsiasi altro caso, bisogna calcolarsi il polinomio caratteristico e gli autospazi. Poi naturalmente gli autovettori in questo caso "semplice" si possono trovare a occhio, ma non vedo perché uno non debba procedere in modo algoritmico (soprattutto se ha poca esperienza - e qui mi riferisco a Licia9).
si nota in un caso come questo l'importanza di pensare una base non come un insieme, ma come una n-upla di vettori, quindi ordinata.
infatti la base $(e_1,e_2,e_3)$ è diversa dalla base $(e_2,e_1,e_3)$
infatti la base $(e_1,e_2,e_3)$ è diversa dalla base $(e_2,e_1,e_3)$
"blackbishop13":Sono diverse eppure in questo caso la matrice nelle due basi è la stessa
la base $(e_1,e_2,e_3)$ è diversa dalla base $(e_2,e_1,e_3)$
"Martino":
Scherzi?
Il caso proposto non è diverso da qualsiasi altro caso, bisogna calcolarsi il polinomio caratteristico e gli autospazi. Poi naturalmente gli autovettori in questo caso "semplice" si possono trovare a occhio, ma non vedo perché uno non debba procedere in modo algoritmico (soprattutto se ha poca esperienza - e qui mi riferisco a Licia9).
A cosa ti riferisci sullo 'scherzo'? Da quello che dici dopo mi sembra di capire che la matrice diagonale è quella identità e la base ortonormale è quella canonica con $e_1$ ed $e_2$ scambiati... Sarò stupido ma non ho capito dove sta la fregnaccia.
Edit: ok capito, scusate ancora per quello che vi tocca leggere certe volte dai miei post! Spero che Licia9 ripassi da qui.
"klarence":La matrice diagonale associata ad A non è la matrice identica, non può esserlo, perché la matrice identica è simile solo a se stessa, come ti ho scritto sopra.
A cosa ti riferisci sullo 'scherzo'? Da quello che dici dopo mi sembra di capire che la matrice diagonale è quella identità e la base ortonormale è quella canonica con $e_1$ ed $e_2$ scambiati... Sarò stupido ma non ho capito dove sta la fregnaccia.
L'applicazione [tex]f[/tex] nella base [tex](e_2,e_1,e_3)[/tex] ha matrice $((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ (cioè la stessa che ha nella base [tex](e_1,e_2,e_3)[/tex]).
"Martino":
La matrice diagonale associata ad A non è la matrice identica, non può esserlo, perché la matrice identica è simile solo a se stessa, come ti ho scritto sopra.
L'applicazione [tex]f[/tex] nella base [tex](e_2,e_1,e_3)[/tex] ha matrice $((0,1,0),(1,0,0),(0,0,1))$ (cioè la stessa che ha nella base [tex](e_1,e_2,e_3)[/tex]).
Si si da quello che hai detto dopo ci sono arrivato, spero almeno che l'utente che ha aperto il topic ripassi da qui.
Si eccomi.. ho letto ragazzi.. Grazie
Ho fatto i calcoli.. ma sbaglio o la matrice non è diagonalizzabile?
mi viene
$-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=0$
che ha soluzioni $\lambda=1 \lambda=-1$
Quindi non ha 3 autovalori e quindi non è diagonalizzabile. giusto?
mi viene
$-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=0$
che ha soluzioni $\lambda=1 \lambda=-1$
Quindi non ha 3 autovalori e quindi non è diagonalizzabile. giusto?
No, sbagliato. Se ha $3$ autovalori distinti è sicuramente diagonalizzabile, altrimenti dovresti verificare la molteplicità geometrica (ovvero la dimensione dell'autospazio) dell'autovalore doppio.
ok grazie
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