Stabilire se un insieme di vettori forma una base

[Angfox]

Dati due vettori v1(1,1) e v2(-2,3) dimostriamo che essi formano una base:
E'dimostrato che i due vettori sono linearmente indipendenti,ma come faccio a dimostrare che sono anche un sistema di generatori?

[Camillo]

Generatori di quale sottospazio ?
Camillo

[Angfox]

vorrei che fosse chiaro il problema:

ho questi due vettori V1 e V2
ho dimostrato che sono linearmente indipendenti in quanto:

l'equazione vettoriale

v1 L1 + v2 L2 = (0,0) dove L1=0 , L2=0

per dimostrare che v1 e v2 sono anche un sistema di generatori dovrei avere che un generico vettore v(a,b) è generato da:

v1 L1 + v2 L2 = (a,b)

ovvero(messo come sistema):

L1 - 2L2 = a
L1 + 3L2 = b

Qua si pone il primo problema:
questo sistema non puo essere risolto in quanto la colonna dei termini noti è incognita?Ovvero risolvendolo in maniera classica per sostituzione ho che:

L1 = (3/5)a + (2/5)b
L2 = (b-a)/5

tuttavia queste conclusioni non mi servono affatto e direi che sono ad un punto morto.
Ma allora come si fa a dimostrare che i vettori v1 e v2 sono anche generatori?

Ho provato a mettere in relazione i tre vettori v1 v2 e v, sapendo che i primi due sono linearmente indipendenti mentre il terzo è generato dagli altri due.Per cui facendo la matrice fra i tre vettori

+1 +1
-2 +3
a b

e riducendola a scalini:

+1 +1
0 +5
0 (b-a)

avrei dovuto ottenere che l'ultima colonna è nulla ovvero che b-a=0 ovvero che a=b.Per cui qualsiasi vettore v generato dai vettori v1 e v2 deve avere la forma v(a,b) dove a=b.

Un mio ulteriore dubbio è nella costruzione della matrice che poi riduco a scalini.Di fatti visto che sto calcolando la dipendenza fra i tre vettori è giusto disporre in quel modo le componenti di v1 v2 e v oppure la matrice che dovrei costruire non dovrebbe essere di questa forma?:

+1 -2 a
+1 +3 b

il che però mi riporterebbe all'inizio.

Aiutatemi sono andato il loop

[Angfox]

quote:

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Originally posted by camillo

Generatori di quale sottospazio ?
Camillo

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il generico vettore v generato da v1 e v2 appartiene a R2

[Sk_Anonymous]

Non arrivi a nessun punto morto. Hai risolto il tuo problema nel momento in cui hai trovato L_1 e L_2 dipendenti da a e b. Le cooordinate di un vettore rispetto ad una base fissata dipendono, oltre che dalla base, anche dal vettore stesso, per cui non e' sorprendente che L_1 e L_2 si scrivano in funzione di a e b.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Angfox]

Ma allora i ragionamenti successivi alle soluzioni sono errati?
Ovvero quando riduco la matrice

+1 +1
-2 +3
a b

a scalini e mi trovo che a=b , il ragionamento è sbagliato perchè la matrice non può essere scritta il questa forma?

[Fisico1]

Non credo di avere ben capito quale sia il dubbio, comunque qualunque insieme di n vettori linearmente indipendenti appartenenti a R^n costituisce una base per R^n (nel tuo caso, n=2). C'è un teorema che lo dimostra. Pensa a delle "frecce", in R^2 basta che i due vettori non siano paralleli (ovvero, che non giacciano sulla stessa retta: se giacciono sulla stessa retta ed hanno versi opposti sono comunque linearmente dipendenti, quindi non sono una base). Il teorema ti garantisce automaticamente che v1 e v2 lin. indip. sono un insieme di generatori (e quindi una base), quindi una volta che hai dimostrato che sono linearmente indipendenti sei a posto. Nel tuo caso, se prendi un vettore (a,b) appartenente a R^2, lo puoi scrivere sempre come combinazione lineare di (1,1) e (-2,3) utilizzando i coefficienti L1 e L2 che hai ricavato in funzione di a e b. Se non ci credi, prova con un qualunque vettore di R^2.