Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile
Ciao, mi aiutereste a risolvere questo esercizio? Ancora non conosco bene l'algoritmo per stabilire la diagonalizzabilità di una matrice.
$A=( ( 0 , 1, 0),( 0, 0, 1),( -1, 1, 1) ) $ inoltre è $A in GL3(R)$?
Dopo aver determinato le soluzioni del polinomio caratteristico, non so più come procedere, $lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=1$, molteplicità algebrica 2, inoltre cosa significa A appartiene a GL3(R), non so proprio cosa sia.
$A=( ( 0 , 1, 0),( 0, 0, 1),( -1, 1, 1) ) $ inoltre è $A in GL3(R)$?
Dopo aver determinato le soluzioni del polinomio caratteristico, non so più come procedere, $lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=1$, molteplicità algebrica 2, inoltre cosa significa A appartiene a GL3(R), non so proprio cosa sia.
Risposte
col simbolo $GL_n (K)$ sta ad indicare il sottoinsieme delle matrici invertibili!
Nel tuo caso la tua matrice è invertibile di ordine 3
Per vedere se è diagonalizzabile..ci sono vari teoremi.. il primo che mi viene in mente ora che è la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica
Come calcolare la molteplicità geometrica? (si denota col simbolo $m_g$)
semplice la molteplicità algebrica è la dimensione dell'autospazio..
se coincidono, allora la matrice è diagonalizzabile..se non lo è NO!..
Nel tuo caso la tua matrice è invertibile di ordine 3
Per vedere se è diagonalizzabile..ci sono vari teoremi.. il primo che mi viene in mente ora che è la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica
Come calcolare la molteplicità geometrica? (si denota col simbolo $m_g$)
semplice la molteplicità algebrica è la dimensione dell'autospazio..
se coincidono, allora la matrice è diagonalizzabile..se non lo è NO!..
Ok ma io ho un dubbio particolare, in questo esercizio ho molteplicità algebrica pari a 2, devo verificare che la molteplicità geometrica per ogni autovalore ($lambda1, lambda2, lambda3$) sia uguale alla molt. algebrica, e come si fa?
Ossia faccio $(A- lambda I)v=0$ dove v è il vettore $(x,y,z)$ e ponendo uguale a zero mi trovo un sistema le cui soluzioni mi danno gli autovettori, devo fare quindi tre sistemi? Ossia uno per ogni autovalore? E poi? Mi serve sapere come si risolve in maniera pratica...
Ossia faccio $(A- lambda I)v=0$ dove v è il vettore $(x,y,z)$ e ponendo uguale a zero mi trovo un sistema le cui soluzioni mi danno gli autovettori, devo fare quindi tre sistemi? Ossia uno per ogni autovalore? E poi? Mi serve sapere come si risolve in maniera pratica...
"Cicciospacca":
Ossia faccio $(A- lambda I)v=0$ dove v è il vettore $(x,y,z)$ e ponendo uguale a zero mi trovo un sistema le cui soluzioni mi danno gli autovettori, devo fare quindi tre sistemi? Ossia uno per ogni autovalore? E poi? Mi serve sapere come si risolve in maniera pratica...
è esatto questo $(A- lambda I)v=0$, qui devi 2 sistemi.. devi fare 3 sistemi se avessi ottenuto 3 autovalori distinti tra di loro.. ma ne hai 2 uguali..
in sostanza.. primo sistema $(A-(-1) I_3)ul(v)=ul(0)$, secondo sistema $(A-1 I_3)ul(v)=ul(0)$
trovato i relativi autovettori.. devi qual è la dimensione dell'autospazio..se coincide..allora è diagonalizzabile!
Ok, a me risulta non diagonalizzabile, poichè l'ordine della matrice degli autovettori è minore dell'ordine dela matrice di partenza (A). Spero sia giusto... 
ma devi guardare la dimensione del tuo autospazio..
ora non ho fatto i calcoli per vedere se gli autovalori sono esatti..
ma ammettiamo che per l'autovalore $\lambda=2$ hai ottenuto questo autovettore $((-1),(1),(2))$
ok allora hai $V_(2)=span{((-1),(1),(2))}$, allora $dim V_(2)=1$ che e' il numero della molteplicita' algebrica relativo all'autovalore 2...
stessa cosa fai con l'autovalore 1, attento pero'.. ha molteplicita' 2.. per cui il tuo autospazio deve avere 2 autovettori!!
se non e' cosi'..allora la matrice non e' diagonalizzabile!
ora non ho fatto i calcoli per vedere se gli autovalori sono esatti..
ma ammettiamo che per l'autovalore $\lambda=2$ hai ottenuto questo autovettore $((-1),(1),(2))$
ok allora hai $V_(2)=span{((-1),(1),(2))}$, allora $dim V_(2)=1$ che e' il numero della molteplicita' algebrica relativo all'autovalore 2...
stessa cosa fai con l'autovalore 1, attento pero'.. ha molteplicita' 2.. per cui il tuo autospazio deve avere 2 autovettori!!
se non e' cosi'..allora la matrice non e' diagonalizzabile!
Scusa ma come fanno a venire due autovettori per l'autovalore 1, risolvendo il sistema per variabili libere (che è solo una ed è z), ossia pongo z=1 e mi trovo un solo autovettore...
ho provato a vedere il calcoli..
a me non vengono gli stessi tuoi autovalori.. metto il mio procedimento..
$ | ( -\lambda , 1 , 0 ),( 0 , -\lambda , 1 ),( -1 , 1 , 1-\lambda ) |=-\lambda| ( -\lambda , 1 ),( 1 , 1-\lambda ) | +1[-| ( 0 , 1 ),( -1 , 1-\lambda ) |] =-\lambda(-\lambda+\lambda^2-1)-1=\lambda^2-\lambda^3+\lambda-1=(1-\lambda)(\lambda^2-1) $
quindi $(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0\to \lambda=1\vee \lambda=\pm 1$
quindi hai molteplcità algebrica 2 per $\lambda=1$, mentre molteplicità algebrica 1 per l'autovalore $\lambda=-1$
(per calcolare il determinante ho usato il metodo di Laplace, sfruttando la prima riga)
a me non vengono gli stessi tuoi autovalori.. metto il mio procedimento..
$ | ( -\lambda , 1 , 0 ),( 0 , -\lambda , 1 ),( -1 , 1 , 1-\lambda ) |=-\lambda| ( -\lambda , 1 ),( 1 , 1-\lambda ) | +1[-| ( 0 , 1 ),( -1 , 1-\lambda ) |] =-\lambda(-\lambda+\lambda^2-1)-1=\lambda^2-\lambda^3+\lambda-1=(1-\lambda)(\lambda^2-1) $
quindi $(1-\lambda)(\lambda^2-1)=0\to \lambda=1\vee \lambda=\pm 1$
quindi hai molteplcità algebrica 2 per $\lambda=1$, mentre molteplicità algebrica 1 per l'autovalore $\lambda=-1$
(per calcolare il determinante ho usato il metodo di Laplace, sfruttando la prima riga)
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