Stabilire se il sistema rappresenta una retta

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30 gen 2013, 01:14

Salve , ho cercato nel forum ma non riesco a trovare qualcosa che mi aiuti a capire l'algoritmo per risolvere questo quesito.
Stabilire se è vero che r è una retta per ogni valore del parametro reale c ,giustificando la risposta.

r : \begin{matrix}x+2y+(1-c)z-2=0 \\ x+2y-z-1=0 \end{matrix}

Chiedo scusa ma non sono stato capace di mettere le due equazioni a sistema.

Risposte

lordb

30 gen 2013, 06:27

Ciao e benvenuto nel forum,
mi sembra ragionevole supporre di essere in $RR^3$.

Cos'è una retta in $RR^3$? L'intersezione di $2$ piani !

Tu hai $2$ piani, affinchè rappresentino una retta vuoi che innanzi tutto il sistema sia ammissibile (teorema di Rouchè-Capelli) e inoltre vuoi che lo spazio delle soluzioni sia una retta, ovvero che la sua giacitura abbia dimensione $1$.

${(dim(Sol)=1),(dim(Sol)=3-rank(A)):} -> rank(A)=2$.

Quindi ricapitolando:

- Costruisci la matrice $(A|b)$ con $A$ matrice dei coefficienti dei parametri e $b$ la colonna dei termini noti.

- Il teorema di Rouchè-Capelli afferma che un sistema ammette soluzioni se e solo se $rank(A)=rank(C)$.

- Vuoi che rappresenti una retta e dunque $rank(A)=2 (=> rank(C)=2)$.

Buon lavoro.