Stabilire se due piani sono in uno stesso semispazio

[lory1990]

Ciao a tutti, abbiamo un problema prima dell'esame:

Abbiamo un piano che divide lo spazio in due semispazi: [tex]\pi:x+y+2[/tex]
e due piani:
[tex]\sigma_1:x+y-3\\
\sigma_2:x+y+6[/tex]

è evidente che non sono entrambi nello stesso semispazio, ma vorremmo un "metodo risolutivo" generale che ci permetta di dimostrare ciò in qualunque situazione.

Noi abbiamo pensato che il problema si riduca a: dato un piano che divide lo spazio in due semispazi e due punti A e B provare che B si trova nello stesso semispazio di A.
Non possiamo usare segmenti

Grazie in anticipo

[cirasa]

Dato un piano [tex]\pi:\,ax+by+cz+d=0[/tex] (a proposito, usa il [tex]..=0[/tex] quando scrivi l'equazione del piano!), i due semispazi individuati da [tex]\displaystyle \pi[/tex] sono rappresentati rispettivamente dalle disequazioni
(1) [tex]\pi:\,ax+by+cz+d\geq0[/tex]
(2) [tex]\pi:\,ax+by+cz+d\leq0[/tex]

Dato un 'ulteriore piano [tex]\displaystyle \alpha[/tex] (distinto da [tex]\displaystyle \pi[/tex]), esso può essere:
(a) parallelo a [tex]\displaystyle \pi[/tex];
(b) incidente [tex]\displaystyle \pi[/tex].

Nel caso (b) naturalmente [tex]\displaystyle \alpha[/tex] è in entrambi i semispazi (1) e (2).
Nel caso (a), [tex]\displaystyle \alpha[/tex] è in uno (e in uno solo) dei due semispazi (1) o (2).

Per vedere se due piani [tex]\displaystyle \alpha[/tex] e [tex]\displaystyle \beta[/tex] sono nello stesso semispazio (nel caso [tex]\displaystyle \alpha[/tex] e [tex]\displaystyle \beta[/tex] non paralleli a [tex]\displaystyle \pi[/tex]) basta vedere in quale dei due semispazi sono.

Che ne dici? Funziona il mio ragionamento?