Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi, sono sottospazi..
(a)
La matrice A è fatta in modo che abbia rango 1, quindi come si generalizza? è del tipo $((a,b),(0,0))$? Quindi la equazione sarebbe $x_3 - x_4 = 0$ le sue equazioni parametriche sarebbero $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4)) = ((1),(0),(0),(0))t + ((0),(1),(0),(0))t' + ((0),(0),(1),(1))t''$ quindi $U = span {((1),(0),(0),(0)),((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(1))}$ ergo dimensione 3?
è necessario verificare che è chiuso rispetto alla somma e al prodotto?
Grazie mille
Risposte
Ti faccio subito notare che $((0,0),(0,0)) = \bb{0}$ non ha rango $1$.
"Seneca":
Ti faccio subito notare che $((0,0),(0,0)) = \bb{0}$ non ha rango $1$.
EDIT
ho capito grazie....
solo il (c) mi lascia qualche dubbio, che sicuramente è banale
la (c) come la faresti seneca?
Prendi $v, w \in W$ e verifica se $a v + b w \in W$, con $a, b \in RR$.
"Seneca":
Prendi $v, w \in W$ e verifica se $a v + b w \in W$, con $a, b \in RR$.
ecco può sembrare assurdo ma ho qualche difficoltà per ora, ti spiego:
ad esempio se ho $ S = {v = (x_1,x_2,x_3) \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0} $
per verificare che è un sottospazio potrei ricavarmi da $x_1 + x_2 + x_3 = 0 $ le equazioni parametriche e se il termine noto è $(0,0,0)$ allora è sufficiente per verificare che è un sottospazio vettoriale? Si potrebbe anche fare:
Prendo $(x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2,y_3)$ e devo verificare che $a\ (x_1,x_2,x_3) + b\ (y_1,y_2,y_3) = ?$
e come lo faccio per il c)?
Grazie mille
$a ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) + b ( y_1 , y_2 , y_3 , y_4 ) = (a x_1 + b y_1 ,a x_2 + b y_2 , a x_3 + b y_3 , a x_4 + b y_4 )$
Ti chiedi se questo vettore appartiene a $W$... Ciò che devi verificare è che il prodotto della prima componente con la terza componente deve dare $0$.
$(a x_1 + b y_1)(a x_3 + b y_3) = a^2 x_1 x_3 + a b x_1 y_3 + a b x_3 y_1 + b^2 y_3 y_1 = a b ( x_1 y_3 + x_3 y_1 )$ che in generale è $\ne 0$. Allora $W$ non è un sottospazio.
Ti chiedi se questo vettore appartiene a $W$... Ciò che devi verificare è che il prodotto della prima componente con la terza componente deve dare $0$.
$(a x_1 + b y_1)(a x_3 + b y_3) = a^2 x_1 x_3 + a b x_1 y_3 + a b x_3 y_1 + b^2 y_3 y_1 = a b ( x_1 y_3 + x_3 y_1 )$ che in generale è $\ne 0$. Allora $W$ non è un sottospazio.
ho capito 
, potresto solamente specificarmi cosa intendi per in generale...?
Grazie mille
, potresto solamente specificarmi cosa intendi per in generale...?Grazie mille
Considera $v = ( 0 , 1 , 1 , 1 ) , w = (1, 1, 0, 1)$ e $a = b = 1$.
$a ( 0 , 1 , 1 , 1 ) + b ( 1 , 1 , 0 , 1 ) = (1 , 1 , 1 ,1)$ che è una combinazione lineare di due elementi di $W$ che non appartiene a $W$.
$a ( 0 , 1 , 1 , 1 ) + b ( 1 , 1 , 0 , 1 ) = (1 , 1 , 1 ,1)$ che è una combinazione lineare di due elementi di $W$ che non appartiene a $W$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo