Stabilire gli autovalori e gli autovettori dell'endomorfismo

[leomagicabula]

Ciao a tutti!
sono incappato in un esercizio di algebra lineare e ho un solo ed unico dubbio vi posto tutto:

Sia $ V=C^oo (0,+oo ) $ lo spazio vettoriale delle funzioni reali derivabili infinite volte. Si determino gli autovalori e gli autovettori dell'endomorfismo $ T : Vrarr V, Tf(t)=f(0)+int_(0)^(t) f(s) ds $

allora, per trovare autoval e autovett devo prima trovare la matrice di rappresentazione di T giusto? e per farlo ho bisogno delle basi canoniche derivabili n-volte da mettere dentro all'integrale giusto? non so come siano queste basi! penso che siamo tutti d'accordo nel dire che le funzioni derivabili n-volte sono $ e^x $ ma come sono fatte queste basi? per il resto penso di cavarmela da solo!!
grazie a tutti per la pazienza

[stormy1]

ma questo spazio vettoriale non è di dimensione finita
basti pensare che $foralln in mathbbN$ la funzione $f(t)=t^n$ ha i requisiti richiesti
penso che sia necessario ricorrere alla definizione di autovettore,cioè trovare le $f(t)$ per le quali esista un $lambda$ tale che
$ f(0)+int_(0)^(t) f(s) ds =lambdaf(t) $ (*)
ciò implica che
$f(t)=lambdaf'(t)$ (**)
una volta trovate le funzioni che soddisfano la (**),gli autovalori e relativi autovettori li trovi ritornando alla (*)

[leomagicabula]

ok.... ma quindi le $ f(t) $ come si calcolano?

[stormy1]

devi risolvere l'equazione differenziale (**) e tra tutte le soluzioni di essa vedere quali verificano anche la (*)

[leomagicabula]

cavolo hai ragione... non ci avevo pensato!! grazie mille ancora!!!!