Spiegazioni su matrice associata.
Buona sera a tutti. Ho ripreso a studiare algebra lineare dopo parecchi anni e trovo parecchie difficoltà sull'argomento matrici associate. Ho provato a cercare su internet ma trovo esempi con la sola risoluzione, senza passaggi. Vorrei chiedere il vostro aiuto per poter capire, sulla base di un esempio numerico.
Ho questo esercizio: è assegnato l'endomorfismo $f:R^3->R^2$ mediante:
$f(2,2,1) = (0,0,1)$
$f(1,2,1) = (-1,h-1,h) $
$ f(1,2,2) = ( 1,h+1,h+1) $ si richiede di determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Sino ad ora ho scritto:
$2f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)= (0,0,1)$
$f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3) = (-1,h-1,h)$
$f(e_1)+2f(e_2)+2f(e_3)= (1,h+1,h+1)$ e fin qui ci sono.
Il problema nasce ora. Come faccio ad arrivare al corretto risultato? Mi appello alla vostra pazienza. Grazie, alex
p.s. questo è un compito d'esame di un professore ma al fine pratico, per la comprensione, mi sta bene un qualsiasi vostro esempio purchè sia chiaro e non troppo semplice...perchè purtroppo non sono bravo nel risolvere casi più complessi e già si son viste le mie figuracce!!
Ho questo esercizio: è assegnato l'endomorfismo $f:R^3->R^2$ mediante:
$f(2,2,1) = (0,0,1)$
$f(1,2,1) = (-1,h-1,h) $
$ f(1,2,2) = ( 1,h+1,h+1) $ si richiede di determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Sino ad ora ho scritto:
$2f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)= (0,0,1)$
$f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3) = (-1,h-1,h)$
$f(e_1)+2f(e_2)+2f(e_3)= (1,h+1,h+1)$ e fin qui ci sono.
Il problema nasce ora. Come faccio ad arrivare al corretto risultato? Mi appello alla vostra pazienza. Grazie, alex
p.s. questo è un compito d'esame di un professore ma al fine pratico, per la comprensione, mi sta bene un qualsiasi vostro esempio purchè sia chiaro e non troppo semplice...perchè purtroppo non sono bravo nel risolvere casi più complessi e già si son viste le mie figuracce!!
Risposte
Scrivi in termini di $e_1, e_2, e_3$ anche i secondi membri delle ultime tre equazioni: $(0,0,1)$ diventa $e_3$, $(-1, h-1, h)$ diventa $-e_1+ (h-1)e_2+he_3$, eccetera.
"dissonance":
Scrivi in termini di $e_1, e_2, e_3$ anche i secondi membri delle ultime tre equazioni: $(0,0,1)$ diventa $e_3$, $(-1, h-1, h)$ diventa $-e_1+ (h-1)e_2+he_3$, eccetera.
e una volta fatto...??
E una volta fatto risolvi $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ dalle tre equazioni. A questo punto, quel sistema non è altro che un sistema di equazioni lineari nelle incognite $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$.
"dissonance":
E una volta fatto risolvi $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ dalle tre equazioni. A questo punto, quel sistema non è altro che un sistema di equazioni lineari nelle incognite $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$.
una parola. Ho iniziato a svolgere ricavando f(e_3) dalla prima e sostituendo nella seconda e nella terza ma....sembra il cubo di Rubik....
sono fermo da due ore( non sto scherzando, ahimè!!!) è ancora non sono venuto a capo del rompicapo ( scusate gioco di parole). Non credo ci sia da ridere, ma la mia è una risata piuttosto nervosa. non sono neanche in grado di trovare soluzione ad un sistema di tre equazioni con tre incognite. Faccio pena. Ad ogni modo, sono andato a rivedere la risoluzione dei sistemi e...come procedo io penso non sia sbagliato. Ma come è possibile che non vi siano tutti questi passaggi nello svolgimento di un esercizio del genere? basta un calcolo e si sbaglia tutto. Ho la soluzione e ancora non riesco ad arrivarci. Non vi è un modo più semplice che ne semplifichi i calcoli?
Non ti disperare! E' il modo migliore per perdersi in un bicchiere d'acqua. Hai qualche problema con i calcoli, dovuto alla mancanza di esercizio. Prova a chiamare $X=f(e_1), Y=f(e_2), Z=f(e_3)$. Il sistema da risolvere (in $X, Y, Z$) è allora:
${(2X+2Y+Z=e_3), (X+2Y+Z=-e_1+(h-1)e_2+he_3), (X+2Y+2Z=e_1+(h+1)e_2+(h+1)e_3):}$.
Non ci dimentichiamo mai, comunque, che $X, Y, Z, e_1, e_2, e_3$ non sono numeri o incognite numeriche, ma vettori di $RR^3$. Detto questo, io osserverei che la seconda equazione e la terza sono molto simili. I rispettivi primi membri differiscono solo per una $Z$...Che succede se, ad esempio, sottraiamo la seconda equazione dalla terza? E se poi sottraiamo la seconda equazione dalla prima? (Rimarco che stiamo facendo operazioni -somme e sottrazioni- che hanno senso tra i vettori.) Prova e fammi sapere.
${(2X+2Y+Z=e_3), (X+2Y+Z=-e_1+(h-1)e_2+he_3), (X+2Y+2Z=e_1+(h+1)e_2+(h+1)e_3):}$.
Non ci dimentichiamo mai, comunque, che $X, Y, Z, e_1, e_2, e_3$ non sono numeri o incognite numeriche, ma vettori di $RR^3$. Detto questo, io osserverei che la seconda equazione e la terza sono molto simili. I rispettivi primi membri differiscono solo per una $Z$...Che succede se, ad esempio, sottraiamo la seconda equazione dalla terza? E se poi sottraiamo la seconda equazione dalla prima? (Rimarco che stiamo facendo operazioni -somme e sottrazioni- che hanno senso tra i vettori.) Prova e fammi sapere.
"dissonance":
Non ti disperare! E' il modo migliore per perdersi in un bicchiere d'acqua. Hai qualche problema con i calcoli, dovuto alla mancanza di esercizio. Prova a chiamare $X=f(e_1), Y=f(e_2), Z=f(e_3)$. Il sistema da risolvere (in $X, Y, Z$) è allora:
${(2X+2Y+Z=e_3), (X+2Y+Z=-e_1+(h-1)e_2+he_3), (X+2Y+2Z=e_1+(h+1)e_2+(h+1)e_3):}$.
Non ci dimentichiamo mai, comunque, che $X, Y, Z, e_1, e_2, e_3$ non sono numeri o incognite numeriche, ma vettori di $RR^3$. Detto questo, io osserverei che la seconda equazione e la terza sono molto simili. I rispettivi primi membri differiscono solo per una $Z$...Che succede se, ad esempio, sottraiamo la seconda equazione dalla terza? E se poi sottraiamo la seconda equazione dalla prima? (Rimarco che stiamo facendo operazioni -somme e sottrazioni- che hanno senso tra i vettori.) Prova e fammi sapere.
ti farò sapere al più presto. Ti ringrazio.
"bad.alex":
Buona sera a tutti. Ho ripreso a studiare algebra lineare dopo parecchi anni e trovo parecchie difficoltà sull'argomento matrici associate. Ho provato a cercare su internet ma trovo esempi con la sola risoluzione, senza passaggi. Vorrei chiedere il vostro aiuto per poter capire, sulla base di un esempio numerico.
Ho questo esercizio: è assegnato l'endomorfismo $f:R^3->R^2$ mediante:
$f(2,2,1) = (0,0,1)$
$f(1,2,1) = (-1,h-1,h) $
$ f(1,2,2) = ( 1,h+1,h+1) $ si richiede di determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Molto semplice:
$f((1),(0),(0)) = f((2),(2),(1)) - f((1),(2),(1)) = ((0),(0),(1)) - ((-1),(h-1),(h)) = ((1),(1-h),(1-h))$
$f((0),(0),(1)) = f((1),(2),(2)) - f((1),(2),(1)) = ((1),(h+1),(h+1)) - ((-1),(h-1),(h)) = ((2),(2),(1))$
$f((0),(1),(0)) = 1/2 * ( f((0),(2),(0)) ) = 1/2 * ( f((1),(2),(1)) - f((1),(0),(0)) - f((0),(0),(1)) ) = .... $
non ho voglia di finire il conto..
però mi sembra il metodo più semplice per questi esercizi.
"franced":[/quote]
[quote="bad.alex"]Buona sera a tutti. Ho ripreso a studiare algebra lineare dopo parecchi anni e trovo parecchie difficoltà sull'argomento matrici associate. Ho provato a cercare su internet ma trovo esempi con la sola risoluzione, senza passaggi. Vorrei chiedere il vostro aiuto per poter capire, sulla base di un esempio numerico.
Ho questo esercizio: è assegnato l'endomorfismo $f:R^3->R^2$ mediante:
$f(2,2,1) = (0,0,1)$
$f(1,2,1) = (-1,h-1,h) $
$ f(1,2,2) = ( 1,h+1,h+1) $ si richiede di determinare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Molto semplice:
$f((1),(0),(0)) = f((2),(2),(1)) - f((1),(2),(1)) = ((0),(0),(1)) - ((-1),(h-1),(h)) = ((1),(1-h),(1-h))$
$f((0),(0),(1)) = f((1),(2),(2)) - f((1),(2),(1)) = ((1),(h+1),(h+1)) - ((-1),(h-1),(h)) = ((2),(2),(1))$
$f((0),(1),(0)) = 1/2 * ( f((0),(2),(0)) ) = 1/2 * ( f((1),(2),(1)) - f((1),(0),(0)) - f((0),(0),(1)) ) = .... $
non ho voglia di finire il conto..
scusami franced. stavo provando a risolvere con lo stesso esercizio ma avrei una domanda da farti: perchè scrivi f(e_1)= f(2,2,1)- .... , f(e_3)=... e in ultimo f(e_2)= 1/2 *....? ( soprattutto quest'ultimo). Mi sfugge qualcosa, sicuramente di estremamente semplice. ti ringrazio, alex
ad ogni modo, la matrice associata, finalmente trovata ( col metodo tuo e di dissonance)è
$M(f) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$
tuttavia spero nella spiegazione "salvifica" ( non riesco a capire il procedimento) di franced. Grazie a tutti.
"bad.alex":
tuttavia spero nella spiegazione "salvifica" ( non riesco a capire il procedimento) di franced. Grazie a tutti.
Ho semplicemente usato la linearità..
"franced":
[quote="bad.alex"]
tuttavia spero nella spiegazione "salvifica" ( non riesco a capire il procedimento) di franced. Grazie a tutti.
Ho semplicemente usato la linearità..[/quote]
In particolare ricorda che
$f(v+w) = f(v) + f(w)$
e
$f(lambda v) = lambda f(v)$.
Per il vettore $e_2$ nel tuo esercizio è sufficiente vedere che risulta:
$((0),(1),(0)) = 1/2 * ((0),(2),(0))$
e quindi abbiamo che:
$f((0),(1),(0)) = f(1/2 * ((0),(2),(0))) = 1/2 * f ((0),(2),(0))$
basta poi osservare che
$((0),(2),(0)) = ((1),(2),(1)) - ((1),(0),(0)) - ((0),(0),(1))$
ed applicare $f$.
Ora è chiaro?
La matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica di $R^3$ è:
$M(f) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$
la sua forma di Jordan è:
$J = ((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,h))$.
l'endomorfismo è sempre diagonalizzabile;
infatti gli autovettori sono i vettori $((1),(1),(1))$, $((1),(1),(0))$ e $((0),(1),(1))$ (linearm. indipendenti):
$f((1),(1),(1)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((1),(1),(1)) = ((1),(1),(1))$
dunque
$f((1),(1),(1)) = 1 * ((1),(1),(1))$ ;
$f((1),(1),(0)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((1),(1),(0)) = ((-1),(-1),(0))$
dunque
$f((1),(1),(0)) = (-1) * ((1),(1),(0))$ ;
$f((0),(1),(1)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((0),(1),(1)) = ((0),(h),(h))$
dunque
$f((0),(1),(1)) = h * ((0),(1),(1))$ .
$M(f) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$
la sua forma di Jordan è:
$J = ((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,h))$.
l'endomorfismo è sempre diagonalizzabile;
infatti gli autovettori sono i vettori $((1),(1),(1))$, $((1),(1),(0))$ e $((0),(1),(1))$ (linearm. indipendenti):
$f((1),(1),(1)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((1),(1),(1)) = ((1),(1),(1))$
dunque
$f((1),(1),(1)) = 1 * ((1),(1),(1))$ ;
$f((1),(1),(0)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((1),(1),(0)) = ((-1),(-1),(0))$
dunque
$f((1),(1),(0)) = (-1) * ((1),(1),(0))$ ;
$f((0),(1),(1)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((0),(1),(1)) = ((0),(h),(h))$
dunque
$f((0),(1),(1)) = h * ((0),(1),(1))$ .
"franced":
La matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica di $R^3$ è:
$M(f) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$
la sua forma di Jordan è:
$J = ((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,h))$.
l'endomorfismo è sempre diagonalizzabile;
infatti gli autovettori sono i vettori $((1),(1),(1))$, $((1),(1),(0))$ e $((0),(1),(1))$ (linearm. indipendenti):
$f((1),(1),(1)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((1),(1),(1)) = ((1),(1),(1))$
dunque
$f((1),(1),(1)) = 1 * ((1),(1),(1))$ ;
$f((1),(1),(0)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((1),(1),(0)) = ((-1),(-1),(0))$
dunque
$f((1),(1),(0)) = (-1) * ((1),(1),(0))$ ;
$f((0),(1),(1)) = ((1,-2,2),(1-h,h-2,2), (1-h,h-1,1))$ $((0),(1),(1)) = ((0),(h),(h))$
dunque
$f((0),(1),(1)) = h * ((0),(1),(1))$ .
mi hai svolto l'esercizio?!?!?!ahahah. Ti ringrazio per la spiegazione. Trovo parecchie difficoltà nell'applicare la teoria alla pratica, soprattutto dato lo scarso apporto di esempi. Buon Natale. alex
"Sergio":
...
Quanto a $e_2$, meno immediato, franced lo "vede subito" lo stesso perché è bravo
...
Troppo buono!
adesso ho avuto modo di capirlo. Spero di mettere subito in pratica quanto appreso. Grazie sergio, grazie franced.
"bad.alex":
adesso ho avuto modo di capirlo. Spero di mettere subito in pratica quanto appreso. Grazie sergio, grazie franced.
Figurati, in questi esercizi mi diverto!
ciao,
siamo in un endomorfismo $RR^2$ tale che:
(1,3) $in$ $Kerf$
(1,1) $in$ $f^-1(1,1)
trovare la matrice associata a f
io l'ho intesa cosi:
$f (1,3) = (0,0)$
$f (1,1) = (1,1)$
va bene secondo voi?
poi ho trovato 'immagine di f rispetto alla base canonica e ho trovato la matrice associata cosi formata:
$((3/2,-1/2),(3/2,-1/2))$
siamo in un endomorfismo $RR^2$ tale che:
(1,3) $in$ $Kerf$
(1,1) $in$ $f^-1(1,1)
trovare la matrice associata a f
io l'ho intesa cosi:
$f (1,3) = (0,0)$
$f (1,1) = (1,1)$
va bene secondo voi?
poi ho trovato 'immagine di f rispetto alla base canonica e ho trovato la matrice associata cosi formata:
$((3/2,-1/2),(3/2,-1/2))$
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