Spiegazione passaggi

[mazzy89-votailprof]

nello studio degli endomorfismi o più in generale di applicazioni lineari quando si hanno le immagini rispetto ad una base del dominio posso determinare $Imf$ ed il $kerf$.in questo modo posso proseguire lo studio dell'applicazione lineare

per esempio (caso banale):

sia $f:RR^3->RR^3$ l'endomorfismo definito da:

$f(1,-1,1)=(1,-1,1)$
$f(0,1,-1)=(0,1,-h)$
$f(1,0,1)=(2,h-1,2)$

i vettori $(1,-1,1),(0,1,-1),(1,0,1)$ formano una base di $RR^3$.abbiamo allora le immagini; possiamo metterle in colonna ed ottenere così $Imf$ e $Kerf$
però allora perché nello studio dell'applicazione lineare per il calcolo dell'$Imf$ o $Kerf$ si calcolano le componentirispetto ad una base e poi si scrive la matrice costituita dai componenti rispetto alla base del codominio anche se si hanno le immagini della base?

per esempio in questo esercizio http://www.giuseppepaxia.it/Prof_Paxia/Compiti_desami_risolti_files/22_9_10-2.pdf si calcolano le componenti anche se si hanno le immagini di una base.qual'è il motivo?

[weblan]

"mazzy89":però allora perché nello studio dell'applicazione lineare per il calcolo dell'$Imf$ o $Kerf$ si calcolano le componentirispetto ad una base e poi si scrive la matrice costituita dai componenti rispetto alla base del codominio anche se si hanno le immagini della base?

Se noi vogliamo calcolare lo spazio immagine, dobbiamo trovare le immagini dei vettori di una base (questo fatto detto $n^n$-volte ). Il metterli per riga o colonna è una questione di gusto. Io personalmente, quando sono in numero abissale, li metto in colonna. Esiste una motivazione. Se faccio i trasformati dei vettori di una base e li metto come colonne, le colonne della matrice sono un sistema di generatori dell'immagine. Se questa matrice, scritta per colonne, la utilizzo per determinare il nucleo devo fare bene attenzione ad interpretare i risultati, le soluzioni non stanno nel nucleo dell'applicazione lineare, ma rappresentano le componenti dei vettori del nucleo nella base fissata. Se la base è canonica, nessun problema, si può dire che sono i vettori che generano il nucleo.

Esempio:
$f(1,1)=(1,2)$ e $f(1,0)=(1,2)$, queste assegnazioni determinano un'applicazione lineare.

Nella matrice $A=((1,1),(2,2))$, vedi che non è la $A_f$, le colonne generano $Imf$, mentre se risolvi il sistema omogeneo associato a tale matrice noterai che i vettori non stanno nel nucleo, ma sono le componenti dei vettori del nucleo nella base che definisce $f$. Per completezza ti metto l'applicazione, cosi controlli cosa dico: $f(x,y)=(x,2x)$.

per esempio in questo esercizio http://www.giuseppepaxia.it/Prof_Paxia/Compiti_desami_risolti_files/22_9_10-2.pdf si calcolano le componenti anche se si hanno le immagini di una base.qual'è il motivo?

Calcolare la matrice che rappresenta l'endomorfismo nella base fissata è un'altra questione. Essa si calcola mettendo per colonne le componenti dei trasfomati dei vettori della base. L'importanza di tale matrice è nota. Questa matrice mi da delle informazioni sul nucleo e l'immagine? Si, però in questo caso le colonne non generano l'immmagine, ma un sistema indipendente di essa sono le componenti dei vettori dell'immagine. Lo stesso dicasi per il sistema omogeneo associato a tale matrice.

Ovvio che se l'applicazione è assegnata sulla base canonica, la matrice $A_f$, è un gioco scriverla è porta tutte le informazioni $Imf$, $Kerf$,......

Mi sembra evidente che se qualcuno mi da delle assegnazioni di un'applicazione lineare sui vettori di una base. Sarei poco accorto nello scrivere la matrice rappresentativa di $A_f$ nella base, trovare un sistema massimale indipendente per le colonne e poi metterli come componenti davanti alla base per determinare i vettori che generano l'immagine. Invece, scrivo in riga o colonna, come più gradisco, i vettori immagine e determino un sistema di generatori indipendente.

[mazzy89-votailprof]

quindi nell'esercizio assegnato che ho linkato è superfluo calcolarmi la matrice associata all'applicazione lineare perché già abbiamo le immagini rispetto ad una base.esatto?

[weblan]

Dipende cosa devi fare. Se devi calcolare nucleo, immagine, iniettività, suriettività si possono benissimo tirare fuori anche dalla prima matrice. Mi pare di averlo detto.

[mazzy89-votailprof]

"weblan":Dipende cosa devi fare. Se devi calcolare nucleo, immagine, iniettività, suriettività si possono benissimo tirare fuori anche dalla prima matrice. Mi pare di averlo detto.

ma allora se tutte queste informazioni si possono calcolare dalla matrice $A_f$ perché mai in quell'esercizio si calcolano i componenti rispetto alle immagini e si mettono in colonna?io lo chiedo perché durante l'esame non vorrei sbagliare omettendo passaggi...

[weblan]

Vedi che nella seconda pagina fa quello che ti ho detto sulle componenti dell'immagine e nucleo. Visto che la matrice $A_f$ la deve calcolare per studiare la diagonalizzabilità, poi utilizza quella per tirare fuoritutte le informazioni.

[mazzy89-votailprof]

"weblan":Vedi che nella seconda pagina fa quello che ti ho detto sulle componenti dell'immagine e nucleo. Visto che la matrice $A_f$ la deve calcolare per studiare la diagonalizzabilità, poi utilizza quella per tirare fuoritutte le informazioni.

ah ok quindi la calcola una volta per tutte ed utilizza quella.anche perché per il calcolo del polinomio caratteristico occorre obbligatoriamente la matrice $A_f$