Spiegazione esercizio algebra lineare
Sia U il sottospazio di R3 generato da (e1)-2(e2) , (e1)+(e3). Sia f : U -> U l’applicazione lineare definita
ponendo f((e1)-2(e2)) = 3(e1)-2(e2) +2(e3), f(e1 +e3) = 6(e1)-4(e2)+4(e3). Posto B = {(e1)-2(e2) , e1 +e3}, calcolare la matrice associata ad f.
Rappresentare f in termini delle coordinate (x, y) rispetto alla base B. Calcolare una base per il nucleo di f.
Ho bisogno di una spiegazione molto dettagliata, perché ho visto anche altri esercizi di questa tipologia svolti, ma nonostante ciò non riesco a capire il procedimento. Sinceramente non ho idea di dove mettere le mani.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!!!
P.S. di solito ho visto che si parte dal notare che f((e1)-2(e2))= 3(e1)-2(e2) +2(e3) è anche una combinazione lineare della base, in particolare 1*[(e1)-2(e2)]+2*[(e1)+(e3)]. Così come f(e1 +e3) = 6(e1)-4(e2)+4(e3)=2*[(e1)-2(e2)]+4*[(e1)+(e3)]
e poi questi coefficienti (1,2;2,4) formano proprio la matrice cercata. Però non capisco proprio il senso di questo "procedimento". Che cosa rappresenta questa matrice?!?! L'unica cosa che mi sembra di capire è che il problema mi chiede di trovare un'applicazione lineare che trasforma il vettore (e1)-2(e2) in 3(e1)-2(e2) +2(e3) , ma non vedo come sia possibile sinceramente trasformare un vettore del piano span(e1,e2) in un vettore che non appartiene al piano.
AIUTATEMIIII
ponendo f((e1)-2(e2)) = 3(e1)-2(e2) +2(e3), f(e1 +e3) = 6(e1)-4(e2)+4(e3). Posto B = {(e1)-2(e2) , e1 +e3}, calcolare la matrice associata ad f.
Rappresentare f in termini delle coordinate (x, y) rispetto alla base B. Calcolare una base per il nucleo di f.
Ho bisogno di una spiegazione molto dettagliata, perché ho visto anche altri esercizi di questa tipologia svolti, ma nonostante ciò non riesco a capire il procedimento. Sinceramente non ho idea di dove mettere le mani.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!!!
P.S. di solito ho visto che si parte dal notare che f((e1)-2(e2))= 3(e1)-2(e2) +2(e3) è anche una combinazione lineare della base, in particolare 1*[(e1)-2(e2)]+2*[(e1)+(e3)]. Così come f(e1 +e3) = 6(e1)-4(e2)+4(e3)=2*[(e1)-2(e2)]+4*[(e1)+(e3)]
e poi questi coefficienti (1,2;2,4) formano proprio la matrice cercata. Però non capisco proprio il senso di questo "procedimento". Che cosa rappresenta questa matrice?!?! L'unica cosa che mi sembra di capire è che il problema mi chiede di trovare un'applicazione lineare che trasforma il vettore (e1)-2(e2) in 3(e1)-2(e2) +2(e3) , ma non vedo come sia possibile sinceramente trasformare un vettore del piano span(e1,e2) in un vettore che non appartiene al piano.
AIUTATEMIIII
Risposte
Ciao. Visto che sei nuovo, ti consiglio di guardare qui per scrivere le formule in modo leggibile.
Veniamo ora al tuo esercizio.
Innanzitutto osserviamo che \( \text{dim}\ U = 2 \), dato che i due generatori assegnati sono anche linearmente indipendenti (perché?).
A questo punto, un noto teorema ti garantisce l'esistenza e l'unicità dell'applicazione lineare descritta (cosa dice questo teorema?).
La matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base fissata ha il seguente significato: moltiplicando tale matrice per il vettore delle componenti rispetto alla base scelta di un generico vettore del dominio, ottengo le componenti rispetto alla stessa base dell'immagine del vettore iniziale.
Ricordandoti che la matrice associata ad un endomorfismo si costruisce fissando una base (\( B \)) e scrivendo in colonna le componenti delle immagini dei vettori di \( B \) rispetto a \( B \) stessa, non dovrebbe più risultarti oscuro il perché di quella matrice.
Veniamo ora al tuo esercizio.
Innanzitutto osserviamo che \( \text{dim}\ U = 2 \), dato che i due generatori assegnati sono anche linearmente indipendenti (perché?).
A questo punto, un noto teorema ti garantisce l'esistenza e l'unicità dell'applicazione lineare descritta (cosa dice questo teorema?).
La matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base fissata ha il seguente significato: moltiplicando tale matrice per il vettore delle componenti rispetto alla base scelta di un generico vettore del dominio, ottengo le componenti rispetto alla stessa base dell'immagine del vettore iniziale.
Ricordandoti che la matrice associata ad un endomorfismo si costruisce fissando una base (\( B \)) e scrivendo in colonna le componenti delle immagini dei vettori di \( B \) rispetto a \( B \) stessa, non dovrebbe più risultarti oscuro il perché di quella matrice.
Sinceramente parlando continuo a non capire molte cose dell'esercizio.
Come dici la "matrice associata ad un endomorfismo si costruisce fissando una base $B$ e scrivendo in colonna le componenti delle immagini dei vettori di $B$ rispetto a $B$ stessa. A questo punto mi vengono gli esempi del libro, in cui gli endomorfismi erano fatti sempre su basi canoniche, e la matrice associata aveva effettivamente sulle colonne le immagini dei versori fondamentali. Quindi seguendo il tuo ragionamento la matrice associata è $((1,2),(2,4))$
A questo punto mi chiedo come questo possa centrare con l'applicazione lineare, in altre parole io so che questa matrice rappresenta la seguente funzione in due variabili:
$f(x,y)=(x+2y,2x+4y)$
come ricollego questo con l'endomorfismo cercato. Insomma intuisco che le variabili $x,y$ sono in realtà le componenti rispetto alla base data, e quindi un'argomento del tipo $(1,0)$ rappresenta in realtà il primo vettore della base $e_1-2e_2$ e la sua immagine è $(1,2)$ rispetto alla base. Quindi tutto torna, però ancora sono molto perplesso.
Per esempio, io so che un'endomorfismo è un'applicazione lineare che manda elementi di uno spazio vettoriale, nello stesso: $f:RR^nrarrRR^n$ però so anche che il rango della matrice associata rappresenta la dimensione dell'immagine. Allora come mai la dimensione dello spazio di partenza è $2$, mentre l'immagine ha dimensione $1$? In altre parole $f(x,y)=(x_2,y_2)$ ma è anche vero che $f(x,y)=(x_2,2x_2)$ quindi la seconda componente è in realtà legata alla prima, e l'immagine del mio spazio di partenza a due dimensioni, e uno spazio monodimensionale. Qualcosa non mi torna =(
Come dici la "matrice associata ad un endomorfismo si costruisce fissando una base $B$ e scrivendo in colonna le componenti delle immagini dei vettori di $B$ rispetto a $B$ stessa. A questo punto mi vengono gli esempi del libro, in cui gli endomorfismi erano fatti sempre su basi canoniche, e la matrice associata aveva effettivamente sulle colonne le immagini dei versori fondamentali. Quindi seguendo il tuo ragionamento la matrice associata è $((1,2),(2,4))$
A questo punto mi chiedo come questo possa centrare con l'applicazione lineare, in altre parole io so che questa matrice rappresenta la seguente funzione in due variabili:
$f(x,y)=(x+2y,2x+4y)$
come ricollego questo con l'endomorfismo cercato. Insomma intuisco che le variabili $x,y$ sono in realtà le componenti rispetto alla base data, e quindi un'argomento del tipo $(1,0)$ rappresenta in realtà il primo vettore della base $e_1-2e_2$ e la sua immagine è $(1,2)$ rispetto alla base. Quindi tutto torna, però ancora sono molto perplesso.
Per esempio, io so che un'endomorfismo è un'applicazione lineare che manda elementi di uno spazio vettoriale, nello stesso: $f:RR^nrarrRR^n$ però so anche che il rango della matrice associata rappresenta la dimensione dell'immagine. Allora come mai la dimensione dello spazio di partenza è $2$, mentre l'immagine ha dimensione $1$? In altre parole $f(x,y)=(x_2,y_2)$ ma è anche vero che $f(x,y)=(x_2,2x_2)$ quindi la seconda componente è in realtà legata alla prima, e l'immagine del mio spazio di partenza a due dimensioni, e uno spazio monodimensionale. Qualcosa non mi torna =(
"Paperjazz":
Per esempio, io so che un'endomorfismo è un'applicazione lineare che manda elementi di uno spazio vettoriale, nello stesso: $f:RR^nrarrRR^n$ però so anche che il rango della matrice associata rappresenta la dimensione dell'immagine. Allora come mai la dimensione dello spazio di partenza è $2$, mentre l'immagine ha dimensione $1$? In altre parole $f(x,y)=(x_2,y_2)$ ma è anche vero che $f(x,y)=(x_2,2x_2)$ quindi la seconda componente è in realtà legata alla prima, e l'immagine del mio spazio di partenza a due dimensioni, e uno spazio monodimensionale. Qualcosa non mi torna =(
La cosa che non stai considerando è che \( \text{dim}\ \text{Im}\ f = \text{dim}\ U \) se e solo se \( f\, \) è suriettiva.
In questo caso, l'immagine ha dimensione 1, pertanto $ f $ non è suriettiva.
Dai un'occhiata alla richiesta successiva: ti chiede il nucleo; c'è un teorema che mette in correlazione le dimensioni di $ U $, \( \text{ker}\ f \) e \( \text{Im}\ f \) (cosa dice questo teorema?).
So che il rango della matrice associata è la dimensione dell'immagine, e che $dimImf+dimkerf=dimU$
Nel frattempo ho sprecato un'altra ora a cercare di capire la logica di questo esercizio:
Sia $f : RR^3 rarr RR^3$ l’endomorfismo di $RR^3$ definito ponendo: $f(3,1,0) = (3,5,0), f(2,1,0) = (2,4,0),
f(0,0,1) = (0,-1,1)$. Stabilire se $f$ è, oppure no, diagonalizzabile.
Svolgimento. Denotiamo con $B$ la base di $RR^3$ costituita dai vettori: $(3,1,0), (2,1,0), (0,0,1)$, e con $E$ la base canonica.
Allora la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica è:
il problema è svolto, e comincia così:
$M_E^E(f)=M_E^B(f)*M_B^E(id_(RR^3))=[[3,2,0],[5,4,-1],[0,0,1]]*[[3,2,0],[1,1,0],[0,0,1]]^-1=[[1,0,0],[1,2,-1],[0,0,1]]$
dopo la diagonalizzazione la so fare senza problemi, ma questo passaggio anche non lo capisco neanche un pò!!! Aiutooo sono disperato=(
Nel frattempo ho sprecato un'altra ora a cercare di capire la logica di questo esercizio:
Sia $f : RR^3 rarr RR^3$ l’endomorfismo di $RR^3$ definito ponendo: $f(3,1,0) = (3,5,0), f(2,1,0) = (2,4,0),
f(0,0,1) = (0,-1,1)$. Stabilire se $f$ è, oppure no, diagonalizzabile.
Svolgimento. Denotiamo con $B$ la base di $RR^3$ costituita dai vettori: $(3,1,0), (2,1,0), (0,0,1)$, e con $E$ la base canonica.
Allora la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica è:
il problema è svolto, e comincia così:
$M_E^E(f)=M_E^B(f)*M_B^E(id_(RR^3))=[[3,2,0],[5,4,-1],[0,0,1]]*[[3,2,0],[1,1,0],[0,0,1]]^-1=[[1,0,0],[1,2,-1],[0,0,1]]$
dopo la diagonalizzazione la so fare senza problemi, ma questo passaggio anche non lo capisco neanche un pò!!! Aiutooo sono disperato=(
"Paperjazz":
Allora la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica è:
il problema è svolto, e comincia così:
$M_E^E(f)=M_E^B(f)*M_B^E(id_(RR^3))=[[3,2,0],[5,4,-1],[0,0,1]]*[[3,2,0],[1,1,0],[0,0,1]]^-1=[[1,0,0],[1,2,-1],[0,0,1]]$
Si tratta della formula del cambio base, con la particolarità che ha moltiplicato le prime due (di tre) matrici, cioè la matrice di cambio base da $ B $ a $ E $ e la matrice associata all'endomorfismo $ f $ rispetto alla base $ B $.
"Riccardo Desimini":
[quote="Paperjazz"]Allora la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica è:
il problema è svolto, e comincia così:
$M_E^E(f)=M_E^B(f)*M_B^E(id_(RR^3))=[[3,2,0],[5,4,-1],[0,0,1]]*[[3,2,0],[1,1,0],[0,0,1]]^-1=[[1,0,0],[1,2,-1],[0,0,1]]$
Si tratta della formula del cambio base, con la particolarità che ha moltiplicato le prime due (di tre) matrici, cioè la matrice di cambio base da $ B $ a $ E $ e la matrice associata all'endomorfismo $ f $ rispetto alla base $ B $.[/quote]
scusa ma continuo a non capire niente=( ... questi cambiamenti di base mi mettono proprio in difficoltà...ho riletto sul libro il capitolo a riguardo ma purtroppo è tutto teorico, e io riesco a capire molto meglio con esempi pratici=(.
su internet ho trovato un pdf sul cambiamento base applicato a vettori(tanto per cominciare con qualcosa di più semplice):
Consideriamo due basi $B = {v_1, . . . , v_n}$ e $B' = {v'_1, . . . ,v'_n}$ di $RR^n$.
Sia $v ∈ RR^n$ e siano $(x_1, . . . , x_n)$ ed $(x'_1, . . . ,x'_n)$ le coordinate di v
nella base $B$ e $B'$, rispettivamente.
La matrice del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$ è, per definizione, la matrice $A$ la cui j−esima colonna è costituita dalle coordinate di $v'_j$ rispetto alla base $B$.
Allora si ha $X = AX'$
Già qui, al di la del fatto che non mi è ben chiaro il concetto di come si costruisce questa maledetta matrice, mi chiedo perchè il testo dice che la matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$ è $A$, e poi però va a scrivere che $X=AX'$ ...così a me sembra che sta passando da $B'$ a $B$ e non il contrario.
Poi prosegue con due esempi di esercizi svolti, scrivo ovviamente solo la parte interessata(perchè ci sono anche altri quesiti a cui so rispondere senza problemi)
1) è data una base $B'$ di $RR^3$ formata dai vettori: $v_1 = (1, 0, −1) v_2 = (0, 1, 1) v_3 = (2, 0, 1)$
Scrivere le equazioni del cambiamento di coordinate e la matrice del cambiamento di base dalla base canonica $B$ alla base $B'$.
Nello svolgimento vengono messi i 3 vettori della base $B'$ sulle colonne della matrice $A$
$A=[[1,0,2],[0,1,0],[-1,1,1]]$
e quindi $X=AX'$ ...qui c'è sempre il discorso di prima, cioè la matrice $A$ me la presenta come una matrice che serve per passare da $B$ a $B'$, poi però scritto così mi sembra che sta passando da $B'$ a $B$.
Poi calcola l'inversa di $A$ e ovviamente scrive il cambiamento opposto:
$((x'_1),(x'_2),(x'_3))=((1/3,2/3,-2/3),(0,1,0),(1/3,-1/3,1/3))*((x_1),(x_2),(x_3))$
E qui passava dalla base canonica a quella data e viceversa. L'esercizio seguente invece cerca la relazione tra due basi entrambe date:
2) $B$ è la base di $RR^3$ costituita dai vettori $v_1 = (1, 1, 1) v_2 = (1, 0, 1) v_3 = (0, 1, 1)$
e $B'$ è $v1 − v2, v1 − v3, v1 + v2 + v3$
come prima cosa controlla che la base $B'$ è effettivamente una base di $RR^3$, per farlo mette i vettori in una matrice, e la matrice è: $((1,-1,0),(1,0,-1),(1,1,1))$ ... non dovrebbe essere $((0,1,0),(1,0,0),(2,2,3))$ ???
La matrice $A$ da $B$ a $B'$ è $((1,1,1),(-1,0,1),(0,-1,1))$ ...perchè!?!?!?!?
poi calcola l'inversa per il passaggio opposto. Questa matrice di cambiamento base non è altro che la trasposta di quella che ha usato per controllare il rango(insomma per il rango ha preferito mettere i vettori sulle righe)...cosa che aveva fatto anche all'esercizio precedente allo stesso modo, solo che li almeno sul controllo del rango tutto quadrava. Mi chiedo, sono io che ho fatto male i calcoli, o è lui che sbaglia? Se ho fatto male i calcoli, allora vi chiedo come si fa ad ottenere quella matrice che lui ha scritto(ovvero sia quella di passaggio, che quella che usa per il controllo)? Se invece è lui che sbaglia, e quindi la matrice corretta sarebbe $((0,1,2),(1,0,2),(0,0,3))$ , secondo l'analogia con l'esercizio precedente dovrebbe legare una base canonica alla base $B'$, e non la base $B$ con $B'$!??!?
Grazie mille Sergio, sei stato fenomenale!!! Sto iniziando ad inquadrare molto molto bene il discorso dei cambiamenti di base!!! Giocandoci un pò ho visto anche come si combinano le matrici dei cambiamenti tipo $A_E^C*B_B^E*v$ dove naturalmente $v$ è scritto come componenti rispetto alla base $B$, che ne risultato finale viene ottenuto rispetto alla base $C$!!! SEI STATO FENOMENALE!!!!!!!!!!!!!! GRAZIE MILLE!!!!!!!!!! Il prossimo obiettivo, cioè domani, sarà quello di capire come operare su applicazioni lineari che operano tra basi diverse e relativi cambiamenti di base.
P.S. naturalmente ho risolto anche il 2o di esercizio sia con il tuo metodo, sia con quello masochistico!!!!!!!!!!!!!!=)
P.S. naturalmente ho risolto anche il 2o di esercizio sia con il tuo metodo, sia con quello masochistico!!!!!!!!!!!!!!=)
Grazie mille ancora! Adesso mi metto a leggere ciò che mi hai consigliato, anche perché sono alle prese con un esercizio, e non so come procedere...spero di riuscire a risolvere da solo, ma il testo lo posto comunque.
Considerare le applicazioni lineari $f : RR^2 rarr RR^3$ definita da $f(x, y) = (4x+y, 3y, 2x+y)$ e $g : RR^3 rarr RR^3$
defi nita da $g(e1-e3) =-e3, g(2e1+e2)=e1+5e2-e3, g(e2+e3)=e1+2e2-e3$ dove ${e1, e2, e3}$ è
la base canonica di $RR^3$
Determinare la matrice rappresentativa di $g * f$ rispetto alle basi canoniche.
Ho pensato di procedere scrivendo le matrici associate:
$A_f=((4,1),(0,3),(2,1))$
$B_g=((0,1,1),(0,5,2),(-1,-1,-1))$
Anche se la matrice $B$ l'ho scritta semplicemente seguendo lo svolgimento di un esercizio simile, senza capirne la logica....quindi in effetti non so se quest'ultima ha senso, e se ce l'ha come procedere.
P.S. li per li, visto che devo comporre due funzioni, penso che probabilmente devo moltiplicare le due matrici, e viste le dimensioni direi che devo moltiplicare la matrice $B$ per la matrice $A$ però ripeto, questa matrice $B$ per ora per me non ha senso
Considerare le applicazioni lineari $f : RR^2 rarr RR^3$ definita da $f(x, y) = (4x+y, 3y, 2x+y)$ e $g : RR^3 rarr RR^3$
defi nita da $g(e1-e3) =-e3, g(2e1+e2)=e1+5e2-e3, g(e2+e3)=e1+2e2-e3$ dove ${e1, e2, e3}$ è
la base canonica di $RR^3$
Determinare la matrice rappresentativa di $g * f$ rispetto alle basi canoniche.
Ho pensato di procedere scrivendo le matrici associate:
$A_f=((4,1),(0,3),(2,1))$
$B_g=((0,1,1),(0,5,2),(-1,-1,-1))$
Anche se la matrice $B$ l'ho scritta semplicemente seguendo lo svolgimento di un esercizio simile, senza capirne la logica....quindi in effetti non so se quest'ultima ha senso, e se ce l'ha come procedere.
P.S. li per li, visto che devo comporre due funzioni, penso che probabilmente devo moltiplicare le due matrici, e viste le dimensioni direi che devo moltiplicare la matrice $B$ per la matrice $A$ però ripeto, questa matrice $B$ per ora per me non ha senso
"Sergio":
[quote="Paperjazz"]Anche se la matrice $B$ l'ho scritta semplicemente seguendo lo svolgimento di un esercizio simile, senza capirne la logica....
Non ho controllato se la matrice è corretta, comunque la logica la trovi a pag. 19 del pdf.[/quote]
Sono arrivato fine pagina 19 e mi è venuta voglia di fare una pausa per controllare se qualcuno mi aveva già risposto, oppure provare a rispondermi da solo...bene, posso provarci!!!=)
$g(e_1-e_3)=-e_3$
$g(2e_1-e_2)=e_1+5e_2-e_3$
$g(e_2+e_3)=e_1+2e_2-e_3$
dunque, devo cercare di arrivare alla forma del tipo $g(e_1)=...$
cerco $a,b,c : a(e_1-e_3)+b(2e_1+e_2)+c(e_2+e_3)=e_1$
$a+2b=1$
$b+c=0$
$-a+c=0$
$(a,b,c)_(e1)=(-1,1,-1)$
a questo punto cerco le immagini della base canonica:
$a*g(e_1-e_3)+b*g(2e_1-e_2)+c*g(e_2+e_3)=g(e_1)=a(-e_3)+b(e_1+5e_2-e_3)+c(e_1+2e_2-e_3)=$
$=(b+c)e_1+(5b+2c)e_2+(-a-b-c)e_3$
quindi $g(e_1)=3e_2+e_3$ ... la prima colonna della matrice cercata sarà $((0),(3),(1))$
procedendo in maniera analoga trovo $(a,b,c)_(e2)=(2,-1,2)$ e $(a,b,c)_(e3)=(-2,1,-1)$
e infine costruisco la mia matrice: $[[(b+c)_(e1)....... (b+c)_(e2) .......(b+c)_(e3)],[(5b+2c)_(e1).... (5b+2c)_(e2) ....(5b+2c)_(e3)],[(-a-b-c)_(e1) (-a-b-c)_(e2) (-a-b-c)_(e3)]]$
La matrice cercata è: $B_g=[[0,1,0],[3,-1,3],[1,-3,2]]$
riprendendo $f(x, y) = (4x+y, 3y, 2x+y)$
con $A_f=[[4,1],[0,3],[2,1]]$
Adesso devo capire come faccio a trovare la matrice $g*f$ ...$g$ composto $f$
le dimensioni mi permettono di fare il prodotto $B_g*A_f$ ...ma ha senso?
Insomma $f:RR^2 rarr RR^3$ e $g:RR^3 rarr RR^3$
e visto che la matrice chiamiamola $C$ a cui sto cercando di arrivare deve avere per forza 2 colonne, e in effetti scrivere $B_g*A_f*X=Y$ ha senso in quanto $A_f$ mi fa passare dalle coordinate di un vettore in $RR^2$ alle coordinate di un vettore in $RR^3$ e quindi $B_g$ diventa compatibile con quest'ultimo, penso proprio che $f$ composto $g$ deve essere il prodotto di $B_g*A_f=C$ che tra le altre cose avrà dimensione $3x2$ e quindi scrivere $CX=Y$ ha senso.
Grazie per i chiarimenti. Il simbolo della composizione non l'avevo trovato, se no usavo quello...tant'è che ho specificato appositamente a parole prima.
C'è un piccolo errore sulla pagina 29 nell'esempio della statura. Per fortuna è un argomento che padroneggio bene, ma uno che avesse difficoltà, potrebbe confondersi le idee.
Comunque complimenti ancora, sto riempiendo piccoli buchi/nessi che mi mancavano! E' davvero un'ottimo complemento allo studio....dovresti pubblicarlo=) ...e fornirlo come dispensa a tutti i corsi di Geometria=)!
C'è un piccolo errore sulla pagina 29 nell'esempio della statura. Per fortuna è un argomento che padroneggio bene, ma uno che avesse difficoltà, potrebbe confondersi le idee.
Comunque complimenti ancora, sto riempiendo piccoli buchi/nessi che mi mancavano! E' davvero un'ottimo complemento allo studio....dovresti pubblicarlo=) ...e fornirlo come dispensa a tutti i corsi di Geometria=)!
Ho finito il pdf=). E poi ho provato a risolvere l'esercizio di ieri con un altro metodo, o meglio, intuendo un altro metodo:
dunque il testo dell'esercizio lo ricordo:
$g(e_1-e_3)=-e_3$
$g(2e_1+e_2)=e_1+5e_2-e_3$
$g(e_2+e_3)=e_1+2e_2-e_3$
sono partito dal cercare la matrice di cambiamento di base da $B={(e_1-e_3)(2e_1+e_2)(e_2+e_3)}$ nella base canonica:
$B_B^E=[[1,2,0],[0,1,1],[-1,0,1]]$ $B_E^B=[[-1,2,-2],[1,-1,1],[-1,2,-1]]$
E mi son detto vediamo se la matrice associata all'applicazione lineare che opera dalla base $B$ a non so quale base, moltiplicata per una delle matrici di trasformazione mi restituisce la matrice trovata col metodo lungo, ovvero:
$R=[[0,1,0],[3,-1,3],[1,-3,2]]$
$M_(fB)=[[0,1,1],[0,5,2],[-1,-1,-1]]$
Il mio intuito mi diceva che prima dovevo applicare la matrice $M_(fB)$ ad un generico vettore di coordinate rispetto a $B$, e poi il vettore trasformato dall'applicazione andava convertito nelle coordinate rispetto ad E. Quindi mi sembrava corretto scrivere: $B_B^E*M_(fB)*X_B=Y_E$
il problema però è che il prodotto $B_B^E*M_(fB)$ mi restituiva una matrice che non era la $R$ che cerco. Moltiplicando con combinazioni diverse le tre matrici invece, ho scoperto che il prodotto $M_(fB)*B_E^B$ mi restituisce esattamente la matrice $R$ cercata. Potresti chiarirmi il discorso per favore!?!?!
aggiunto alle 14:22
P.S. ecco, sono arrivato ad un esercizio per cui mi serve proprio un chiarimento dell'argomento, infatti il testo dice:
Sia $T : RR^2 rarr RR^2$ de finita da $T(x,y) = (4x + y,3y)$. Sia $B ={(1; 1);(1; 0)}$ una base di $RR^2$
Determinare la matrice rappresentativa di $T$ nella base $B$.
Dunque cosa mi si sta chiedendo? Che cosa deve fare quest'applicazione lineare? Da che base prende le coordinate e in quale le restituisce?
aggiunto alle 15:44
Ritornando all'esercizio di prima, ho fatto un pò di scoperte:
partendo dall'ipotesi che la matrice $R$, quella insomma che ho trovato ieri nell'ultimo messaggio, trasforma coordinate da E in E, ecco cosa viene fuori:
chiamiamo $B_E^B$ e $B_B^E$ rispettivamente le matrici che trasformano coordinate da E in B e da B in E.
chiamiamo inoltre $A_B$ la matrice ricavata mettendo in colonna le immagini della base $B$, dati nel problema.(e qui credo che le immagini siano coordinate rispetto alla base canonica ma non ne sono certo)
La matrice $A_B$ è l'applicazione lineare che prende vettori con coordinate in base B, e restituisce vettori trasformati in base E.... infatti:
$A_B*v_B=R*(B_B^R*v_B)$
dove $v$ sono le coordinate di un vettore generico, e il pedice indica la base
poi ho visto che la matrice risultante dal prodotto $B_E^B*A_B$ prende le coordinate in B e le trasforma in coordinate in B
$B_E^B*A_B*v_B=B_E^B*(R*v_A)$
aggiunto alle 16:13
Il secondo esercizio quindi si dovrebbe fare in questo modo:
la matrice T che lavora tra le basi canoniche è ovviamente:
$T=[[4,1],[0,3]]$
La matrice di trasformazione è $B_B^E=[[1,1],[-1,0]]$ ...... $B_E^B=[[0,-1],[1,1]]$
mi si chiede l'applicazione T rispetto alla base B:
$T*B_B^E$ - dovrebbe essere la matrice che prende i vettori con coordinate in B e restituisce i vettori trasformati con coordinate in E
$B_E^B*T*B_B^E$ - dovrebbe essere le matrice che prende i vettori con coordinate in B e restituisce i vettori trasformati con coordinate in B
quindi qual'è la risposta giusta!?!?
dunque il testo dell'esercizio lo ricordo:
$g(e_1-e_3)=-e_3$
$g(2e_1+e_2)=e_1+5e_2-e_3$
$g(e_2+e_3)=e_1+2e_2-e_3$
sono partito dal cercare la matrice di cambiamento di base da $B={(e_1-e_3)(2e_1+e_2)(e_2+e_3)}$ nella base canonica:
$B_B^E=[[1,2,0],[0,1,1],[-1,0,1]]$ $B_E^B=[[-1,2,-2],[1,-1,1],[-1,2,-1]]$
E mi son detto vediamo se la matrice associata all'applicazione lineare che opera dalla base $B$ a non so quale base, moltiplicata per una delle matrici di trasformazione mi restituisce la matrice trovata col metodo lungo, ovvero:
$R=[[0,1,0],[3,-1,3],[1,-3,2]]$
$M_(fB)=[[0,1,1],[0,5,2],[-1,-1,-1]]$
Il mio intuito mi diceva che prima dovevo applicare la matrice $M_(fB)$ ad un generico vettore di coordinate rispetto a $B$, e poi il vettore trasformato dall'applicazione andava convertito nelle coordinate rispetto ad E. Quindi mi sembrava corretto scrivere: $B_B^E*M_(fB)*X_B=Y_E$
il problema però è che il prodotto $B_B^E*M_(fB)$ mi restituiva una matrice che non era la $R$ che cerco. Moltiplicando con combinazioni diverse le tre matrici invece, ho scoperto che il prodotto $M_(fB)*B_E^B$ mi restituisce esattamente la matrice $R$ cercata. Potresti chiarirmi il discorso per favore!?!?!
aggiunto alle 14:22
P.S. ecco, sono arrivato ad un esercizio per cui mi serve proprio un chiarimento dell'argomento, infatti il testo dice:
Sia $T : RR^2 rarr RR^2$ de finita da $T(x,y) = (4x + y,3y)$. Sia $B ={(1; 1);(1; 0)}$ una base di $RR^2$
Determinare la matrice rappresentativa di $T$ nella base $B$.
Dunque cosa mi si sta chiedendo? Che cosa deve fare quest'applicazione lineare? Da che base prende le coordinate e in quale le restituisce?
aggiunto alle 15:44
Ritornando all'esercizio di prima, ho fatto un pò di scoperte:
partendo dall'ipotesi che la matrice $R$, quella insomma che ho trovato ieri nell'ultimo messaggio, trasforma coordinate da E in E, ecco cosa viene fuori:
chiamiamo $B_E^B$ e $B_B^E$ rispettivamente le matrici che trasformano coordinate da E in B e da B in E.
chiamiamo inoltre $A_B$ la matrice ricavata mettendo in colonna le immagini della base $B$, dati nel problema.(e qui credo che le immagini siano coordinate rispetto alla base canonica ma non ne sono certo)
La matrice $A_B$ è l'applicazione lineare che prende vettori con coordinate in base B, e restituisce vettori trasformati in base E.... infatti:
$A_B*v_B=R*(B_B^R*v_B)$
dove $v$ sono le coordinate di un vettore generico, e il pedice indica la base
poi ho visto che la matrice risultante dal prodotto $B_E^B*A_B$ prende le coordinate in B e le trasforma in coordinate in B
$B_E^B*A_B*v_B=B_E^B*(R*v_A)$
aggiunto alle 16:13
Il secondo esercizio quindi si dovrebbe fare in questo modo:
la matrice T che lavora tra le basi canoniche è ovviamente:
$T=[[4,1],[0,3]]$
La matrice di trasformazione è $B_B^E=[[1,1],[-1,0]]$ ...... $B_E^B=[[0,-1],[1,1]]$
mi si chiede l'applicazione T rispetto alla base B:
$T*B_B^E$ - dovrebbe essere la matrice che prende i vettori con coordinate in B e restituisce i vettori trasformati con coordinate in E
$B_E^B*T*B_B^E$ - dovrebbe essere le matrice che prende i vettori con coordinate in B e restituisce i vettori trasformati con coordinate in B
quindi qual'è la risposta giusta!?!?
Aiutooo!!!! Dopodomani ho l'esame, e ho ancora questi dubbi del cavolo! Nel frattempo ecco un altro esercizio che mi ha messo in difficoltà:
Nello spazio vettoriale $M(2;RR)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l'applicazione de finita da
$f(A) = 2A^T-A$
(a) veri care che f e un endomorfi smo.
(b) provare che f e semplice
(c) trovare una base rispetto a cui la matrice di $f$ si rappresenta con una matrice diagonale.
Per prima cosa ho pensato di scrivere la base canonica delle matrici $(2,RR)$ e poi ho scritto l'applicazione lineare, che dovrebbe essere questa:
$f(a,b,c,d)=(2a,-b+2c,2b-c,d)$ con matrice associata:
$A=[[1,0,0,0],[0,-1,2,0],[0,2,-1,0],[0,0,0,1]]$
Per il punto A ho usato due matrici generiche del tipo $((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ e sommandole e moltiplicandone una per uno scalare, concludendo che è un'applicazione lineare. Poi ho controllato che il rango della matrice associata sia 4, e quindi che l'immagine ha la stessa dimensione del dominio.
il polinomio caratteristico viene se ho fatto bene i conti $(3+lambda)*(1-lambda)^3$
L'autospazio associato all'autovalore $1$ di molteplicità $3$ è generato dalla base ${(1,0,0,0)(0,1,1,0)(0,0,0,1)}$ quindi la somma delle molteplicità algebriche è uguale a quella delle geometriche. Quindi è un endomorfismo semplice.
Fatto ciò scrivo la matrice $P$ di trasformazione:
$P=[[1,0,0,0],[0,1,0,1],[0,1,0,-1],[0,0,1,0]]$
e diagonalizzo la mia matrice $A$:
$P^(-1)*A*P=[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,-3]]$
A questo punto non ho idea di cosa fare! Come faccio a trovare una base rispetto a cui la matrice di $f$ si rappresenta con una matrice diagonale????? AIUTOOOO
Nello spazio vettoriale $M(2;RR)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l'applicazione de finita da
$f(A) = 2A^T-A$
(a) veri care che f e un endomorfi smo.
(b) provare che f e semplice
(c) trovare una base rispetto a cui la matrice di $f$ si rappresenta con una matrice diagonale.
Per prima cosa ho pensato di scrivere la base canonica delle matrici $(2,RR)$ e poi ho scritto l'applicazione lineare, che dovrebbe essere questa:
$f(a,b,c,d)=(2a,-b+2c,2b-c,d)$ con matrice associata:
$A=[[1,0,0,0],[0,-1,2,0],[0,2,-1,0],[0,0,0,1]]$
Per il punto A ho usato due matrici generiche del tipo $((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ e sommandole e moltiplicandone una per uno scalare, concludendo che è un'applicazione lineare. Poi ho controllato che il rango della matrice associata sia 4, e quindi che l'immagine ha la stessa dimensione del dominio.
il polinomio caratteristico viene se ho fatto bene i conti $(3+lambda)*(1-lambda)^3$
L'autospazio associato all'autovalore $1$ di molteplicità $3$ è generato dalla base ${(1,0,0,0)(0,1,1,0)(0,0,0,1)}$ quindi la somma delle molteplicità algebriche è uguale a quella delle geometriche. Quindi è un endomorfismo semplice.
Fatto ciò scrivo la matrice $P$ di trasformazione:
$P=[[1,0,0,0],[0,1,0,1],[0,1,0,-1],[0,0,1,0]]$
e diagonalizzo la mia matrice $A$:
$P^(-1)*A*P=[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,-3]]$
A questo punto non ho idea di cosa fare! Come faccio a trovare una base rispetto a cui la matrice di $f$ si rappresenta con una matrice diagonale????? AIUTOOOO
Mi sono riletto la parte sugli autospazi con un pò più attenzione e credo di aver capito:
L'operatore $N$ come viene chiamato nel testo ha per colonne, gli elementi della base formata da autovettori, espressi rispetto alla base canonica.
Quindi essendo il mio operatore $N=[[1,0,0,0],[0,1,0,1],[0,1,0,-1],[0,0,1,0]]$
essendo la mia base canonica: ${[[1,0],[0,0]] [[0,1],[0,0]] [[0,0],[1,0]] [[0,0],[0,1]]}$
suppongo che la nuova base sia: ${[[1,0],[0,0]] [[0,1],[1,0]] [[0,0],[0,1]] [[0,1],[-1,0]]}$
infine la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla nuova base sarà una matrice diagonale, con gli autovalori sulla diagonale data da:
$N^(-1)*A*N= [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,-3]]$
L'operatore $N$ come viene chiamato nel testo ha per colonne, gli elementi della base formata da autovettori, espressi rispetto alla base canonica.
Quindi essendo il mio operatore $N=[[1,0,0,0],[0,1,0,1],[0,1,0,-1],[0,0,1,0]]$
essendo la mia base canonica: ${[[1,0],[0,0]] [[0,1],[0,0]] [[0,0],[1,0]] [[0,0],[0,1]]}$
suppongo che la nuova base sia: ${[[1,0],[0,0]] [[0,1],[1,0]] [[0,0],[0,1]] [[0,1],[-1,0]]}$
infine la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla nuova base sarà una matrice diagonale, con gli autovalori sulla diagonale data da:
$N^(-1)*A*N= [[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,-3]]$
Un grande GRAZIE a tutto il forum, e sopratutto un grandissimo GRAZIE a Sergio.
Grazie a qualche dritta, e tanto materiale ho preso l'unico 30 di tutti i canali di geometria, seguito da un 25, e oggi all'orale ci ho aggiunto la LODE!!!=) GRAZIEEEEEEEE
P.S. ...tornerò presto a rompervi le scatole con Analisi II e Geometria II =)
Grazie a qualche dritta, e tanto materiale ho preso l'unico 30 di tutti i canali di geometria, seguito da un 25, e oggi all'orale ci ho aggiunto la LODE!!!=) GRAZIEEEEEEEE
P.S. ...tornerò presto a rompervi le scatole con Analisi II e Geometria II =)
Complimenti a te Paperjazz
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