Spettro

[xnix]

cosa posso dire dello spettro di una matrice simmetrica $A=A^t$? posso affermare che gli autovalori di $A$ sono simili a quelli di $A^t$? se si posso dimostrare il risultato dicendo che siccome $a_(ij)=a_(ji)$ allora hanno autovalori uguali?

[maurer]

"xnix":posso affermare che gli autovalori di $ A $ sono simili a quelli di $ A^t $?

Puoi dire tutto quello che vuoi a patto di definirlo. A me non risulta che la dicitura "gli autovalori di A sono simili agli autovalori di B" abbia alcun significato.

"xnix": se si posso dimostrare il risultato dicendo che siccome $ a_(ij)=a_(ji) $ allora hanno autovalori uguali?

No. Però puoi osservare che il determinante è invariante per trasposizione e che quindi le due matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico (questo è sempre vero per una matrice quadrata e la sua trasposta).

[xnix]

appunto dico se hanno lo stesso polinomio caratteristico avranno gli stessi autovalori e autovettori.. no?

[maurer]

Beh non mi sembrava che fosse esattamente quello che stavi dicendo. Comunque sì, una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso polinomio caratteristico.

[FRANCESCO221293]

C'è un pò di geometria da ripassare qui, Ti consiglio se hai un libro di geometria prova a ripassare la parte riguardante il teorema di Sylvester o cercalo è abbastanza importante!

[xnix]

Sylvester mi chiarisce l'idea sulla segnatura di una matrice più che sul polinomio caratteristico