Spazio vettoriale polinomi di grado minore

[francescoric92]

Salve ragazzi,come posso risolvere questo tipo di problema?Non sò da dove iniziare:
Sia r2[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due,e sia f:R2[t]--->R2[t]
l'applicazione lineare data da

f(a+bt+c$t^2$)=a+(a+b+c)t+a$t^2$ per ogni a,b,c $in$ R

1)Determinare basi per ker f e img f.
2)Determinare $f^-1$(1+t+$t^2$).

Aiutatemi

[Sk_Anonymous]

Questo tipo di esercizi con i polinomi è stato trattato molte volte nella sezione presente. I metodi di risoluzione sono vari ma io preferisco quello che fa corrispondere ad ogni polinomio (ordinato) il vettore (ordinato) dei suoi coefficienti:
$a+bt+ct^2->(a,b,c)$
In tal modo la nostra $f$ diventa così :
$f(a+bt+ct^2)->f(a,b,c)=a+(a+b+c)t+at^2->(a,a+b+c,a)$
In definitiva possiamo scrivere che :
$f(a,b,c)=(a,a+b+c,a)$
In tal modo la matrice $M$ associata ad $f$ diventa :
$M=((1,0,0),(1,1,1),(1,0,0))$
Questa matrice ha rango=2 e quindi, tenuto conto che lo spazio vettoriale dei polinomi di grado non superiore a 2 ha dimensione=3, risulta $dim(Imf)=2, dim(kerf)=3-2=1$.
Per trovare una base di $Im(f)$ basta prendere due colonne linearmente indipendenti di $M$ e nel nostro caso tali colonne sono le prime due. E dunque:
$Imf={((1),(1),(1)),((0),(1),(0))}$
In termini di polinomi si può scrivere che :
$Im(f)={1+t+t^2,t}$
Per una base di $ker(f)$ si deve risolvere l'equazione :
$((1,0,0),(1,1,1),(1,0,0)) cdot ((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$
che poi si trasforma nel sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}a=0\\c=-b\end{cases} \)
La soluzione è $ b cdot (0,1,-1) $ e quindi :
$ker(f)={((0),(1),(-1))}$
In termini di polinomi risulta :
$ker(f)={t-t^2}$
P.S. Rivedi bene i calcoli: potrei aver fatto qualche errore...