Spazio vettoriale generato da un insieme

[4mrkv]

E' in una appendice dell'algebra lineare di Lang, nel capitolo sui prodotti multilineari. Vorrei essere sicuro di avere capito bene. Dato un campo \(\mathbb{K}\) ed un insieme di lettere \(s_{1},...,s_{n}\) definisco l'insieme \(T\) delle applicazioni tali che \(s_{i}{\small (}s_{j}{\small )}=s_{i}s_{j}=1\) o \(0\) come Kronocker (uso la medesima lettera). Data l'applicazione \(0s_{i}=0\) e \(-s_{i}s_{j}=-1\) o \(0\) come prima, l'insieme \(T\) diventa un gruppo. Con l'applicazione \(ks_{i}s_{j}=k\) o \(0\) ... ritrovo uno spazio vettoriale. Se qualcuno sa già l'argomento potrebbe solo confermare o smentire. Ho fatto i calcoli e sembra che lo spazio sia ben definito ma non ho voglia di riportarli.

[j18eos]

Sì, è un modo calcoloso per definire il \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale libero su un insieme \(S\) (finito?).

[4mrkv]

In realtà a \(T\) vanno aggiunte le combinazioni lineari di tali funzioni perché sia chiuso rispetto alla somma. Grazie.