Spazio Vettoriale e Vettori
Ciao a tutti! Vi volevo chiedere una cosa visto che non sto capendo molto di spazi vettoriali e vettori. Ovver, i procedimenti matematici li capisco, però non riesco a capire in pratica cosa sia un vettore.
Quando, ad esempio, ho una ennupla (x1, x2...xn) questa che cosa mi rappresenta nella pratica?
Quindi, chi mi aiuta a capire cosa sia un vettore?
E avrei qualche difficoltà anche sul sistema di generatori.
Chi mi aiuta? GRazie mille a chiunque vorrà farlo!
Quando, ad esempio, ho una ennupla (x1, x2...xn) questa che cosa mi rappresenta nella pratica?
Quindi, chi mi aiuta a capire cosa sia un vettore?
E avrei qualche difficoltà anche sul sistema di generatori.
Chi mi aiuta? GRazie mille a chiunque vorrà farlo!
Risposte
Alura, ti spiego qual che ho capito io (occhio che faccio Ingegneria e non materie scientifiche per cui non garantisco la correttezza formale del tutto):
in uno spazio vettoriale i vettori o n-uple sono semplicemente degli insiemi ordinati di n numeri (con eventuali ripetizioni: è importante ricordare che ${1, 0, 1, 1, 0}={0, 1}$ ma $(1, 0, 1, 1, 0) \ne (0, 1) \ne (1,0)$ etc.) su cui definisci una serie di operazioni. Per la verità le n-uple di per sé non rappresentano nulla al di fuori di sé stesse (a meno che tu non ne incontri una al bar vicino casa
) ma vengono anche dette "vettori" (e il loro insieme "spazio vettoriale") perchè sono molto comode per rappresentare i vettori in uno spazio euclideo a n dimensioni: ad esempio posso stabilire che $(1,-1,2)$ rappresenta il vettore $1\hat i-1\hat j+2\hat k$ e così via (il fatto che le operazioni di somma, moltiplicazione per uno scalare e prodotto scalare di due n-uple corrispondano alle rispettive operazioni con i vettori aiuta). Ma non bisogna farsi prendere la mano e identificare le n-uple con i vettori: una n-upla può essere ad esempio l'elenco ordinato dei valori assunti da una funzione $f:{1,2,3,...,n} \to \mathbb R$ o cose simili.
Spero di essere stato di aiuto.
Ciao
Ob
P.S. Sul sistema di generatori ti risponderò quando potrò (se un altro non l'avrà già fatto) ma ora devo decisamente andare.
in uno spazio vettoriale i vettori o n-uple sono semplicemente degli insiemi ordinati di n numeri (con eventuali ripetizioni: è importante ricordare che ${1, 0, 1, 1, 0}={0, 1}$ ma $(1, 0, 1, 1, 0) \ne (0, 1) \ne (1,0)$ etc.) su cui definisci una serie di operazioni. Per la verità le n-uple di per sé non rappresentano nulla al di fuori di sé stesse (a meno che tu non ne incontri una al bar vicino casa
) ma vengono anche dette "vettori" (e il loro insieme "spazio vettoriale") perchè sono molto comode per rappresentare i vettori in uno spazio euclideo a n dimensioni: ad esempio posso stabilire che $(1,-1,2)$ rappresenta il vettore $1\hat i-1\hat j+2\hat k$ e così via (il fatto che le operazioni di somma, moltiplicazione per uno scalare e prodotto scalare di due n-uple corrispondano alle rispettive operazioni con i vettori aiuta). Ma non bisogna farsi prendere la mano e identificare le n-uple con i vettori: una n-upla può essere ad esempio l'elenco ordinato dei valori assunti da una funzione $f:{1,2,3,...,n} \to \mathbb R$ o cose simili.Spero di essere stato di aiuto.
Ciao
Ob
P.S. Sul sistema di generatori ti risponderò quando potrò (se un altro non l'avrà già fatto) ma ora devo decisamente andare.
ciao, quando hai un insieme con le proprietà di spazio vettoriale secondo la definizione, allora ogni elemento di quell'insieme si chiama vettore. ad esempio se consideri l'insieme delle funzioni da $RR$ in $RR$ questo è uno spazio vettoriale ed ogni funzione si dice vettore. quindi un vettore è un oggetto che appartiene ad uno spazio vettoriale.
per quando riguarda la ennupla che hai citato, nell'ambito degli spazi vettoriali, si tratta di un vettore di $RR^n$ che è l'estensione dei vettori dei vettori in $RR^ 2$ ed $RR^3$ solo che per $n>3$ non riesci a disegnarli o immaginarli (sarebbe un "segmento" in $n$ dimensioni).
per quando riguarda la ennupla che hai citato, nell'ambito degli spazi vettoriali, si tratta di un vettore di $RR^n$ che è l'estensione dei vettori dei vettori in $RR^ 2$ ed $RR^3$ solo che per $n>3$ non riesci a disegnarli o immaginarli (sarebbe un "segmento" in $n$ dimensioni).
Oh già, mi ero scordato di precisare che gli spazi vettoriali non sono certo limitati a $\mathbb R ^n$.
Errore mio: speriamo che la mia descrizione vada bene almeno nell'ambito delle n-uple o sono davvero un incompetente
Errore mio: speriamo che la mia descrizione vada bene almeno nell'ambito delle n-uple o sono davvero un incompetente
capire in pratica cos'è un vettore non credo sia una cosa facile. E' possibile visualizzare i vettori in spazi come $RR$, $RR^2$, $RR^3$, considerandoli come segmenti che congiungono l'origine degli assi con il punto identificato dall'n-pla.
Ad esempio in $RR^2$ l'n-pla $(2,1)$è rappresenta il segmento di retta che congiunge l'origine col punto $(2,1)$.
Questo è un modo utile all'inizio per avere un'idea di cosa sia un vettore ma esso è un concetto matematico e come tale è astratto. Immaginare spazi vettoriali come $M_100 (CC)$ o spazi dove gli oggetti non sono neanche numeri non credo sia possibile.
In $RR$ i vettori saranno tutti lungo una retta: infatti la somma vettoriale e il prodotto per uno scalare da luogo sempre ad un vettore giacente sulla stessa retta. Esso infatti ha dimensione uguale ad 1.
In $RR^2$ i vettori saranno giacenti sempre su un piano. Dimensione = 2
In $RR^3$ tutti i vettori i vettori stanno in uno spazio euclideo a 3 dimensioni.
Un sistema di generatori è un insieme di vettori che opportunamente combinati sono in grado di creare lo spazio vettoriale.
Per esempio in $RR^2$ l'insieme di vettori $A={(0,1),(1,0)}$ sono un sistema di generatori di $RR^2$ in quanto ogni vettore di $RR^2$ può essere creato dalla combinazione lineare dei sopracitati vettori. (Esemprio: il vettore $v=(4,5)$ può essere scritto come $v = 4*(1,0) + 5*(0,1)$)
Questo è circa quello che ho capito io su questi argomenti visto che anche io li sto trattando adesso quindi se ce qualcuno che ne sa di piu mi corregga pure.
spero di esserti stato utile.
Ciauz!! :-D
Ad esempio in $RR^2$ l'n-pla $(2,1)$è rappresenta il segmento di retta che congiunge l'origine col punto $(2,1)$.
Questo è un modo utile all'inizio per avere un'idea di cosa sia un vettore ma esso è un concetto matematico e come tale è astratto. Immaginare spazi vettoriali come $M_100 (CC)$ o spazi dove gli oggetti non sono neanche numeri non credo sia possibile.
In $RR$ i vettori saranno tutti lungo una retta: infatti la somma vettoriale e il prodotto per uno scalare da luogo sempre ad un vettore giacente sulla stessa retta. Esso infatti ha dimensione uguale ad 1.
In $RR^2$ i vettori saranno giacenti sempre su un piano. Dimensione = 2
In $RR^3$ tutti i vettori i vettori stanno in uno spazio euclideo a 3 dimensioni.
Un sistema di generatori è un insieme di vettori che opportunamente combinati sono in grado di creare lo spazio vettoriale.
Per esempio in $RR^2$ l'insieme di vettori $A={(0,1),(1,0)}$ sono un sistema di generatori di $RR^2$ in quanto ogni vettore di $RR^2$ può essere creato dalla combinazione lineare dei sopracitati vettori. (Esemprio: il vettore $v=(4,5)$ può essere scritto come $v = 4*(1,0) + 5*(0,1)$)
Questo è circa quello che ho capito io su questi argomenti visto che anche io li sto trattando adesso quindi se ce qualcuno che ne sa di piu mi corregga pure.
spero di esserti stato utile.
Ciauz!! :-D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo