Spazio vettoriale e suo Duale
Salve a tutti.
Sto studiando Geometria 2 per CdL in matematica.
Allora. Non capisco una cosa.
L'applicazione lineare tra uno spazio vettoriale e il suo duale è un isomorfismo. Ma tale isomorfismo è sempre canonico o sotto certe condizioni dipende anche dalla scelta della base?
Sto studiando Geometria 2 per CdL in matematica.
Allora. Non capisco una cosa.
L'applicazione lineare tra uno spazio vettoriale e il suo duale è un isomorfismo. Ma tale isomorfismo è sempre canonico o sotto certe condizioni dipende anche dalla scelta della base?
Risposte
Pensa a come viene definito usualmente tale isomorfismo e otterrai la risposta.
Ciao, grazie per la risposta.
Pensando al teorema di rappresentazione di Riesz penso sia canonico.
Solo che ho un dubbio.
La definizione del teorema è la seguente:
Sia una forma bilineare simmetrica non degenere, allora esiste un isomorfismocanonico tra Vn e il suo duale.
Giusto?
Pensando al teorema di rappresentazione di Riesz penso sia canonico.
Solo che ho un dubbio.
La definizione del teorema è la seguente:
Sia una forma bilineare simmetrica non degenere, allora esiste un isomorfismocanonico tra Vn e il suo duale.
Giusto?
Aspetta. ci sono arrivato.
In genere non è canonico.
Se invece la forma bilineare è non degenere si?
In genere non è canonico.
Se invece la forma bilineare è non degenere si?
Fermo lì. In generale, l'isomorfismo tra uno spazio vettoriale e il suo duale dipende dalla base, visto che se $B=\{v_1,\ldots,v_n\}$ è una base di $V$, puoi costruire la base duale come $B^*=\{v_1^*,\ldots,v_n^*\}$ definiti come $v_j^*(v_i)=\delta_{ji}$ (delta di Kronecher).
Ma se stai parlando del teorema di Reisz, le cose cambiano: qui non stai più parlando tanto dell'isomorfismo in generale, quanto del fatto che gli operatori del duale si possano scrivere in modo unico come prodotto scalare (che è definito a priori - cosa che in generale non hai su un qualunque sazio vettoriale) sullo spazio stesso.
Ma se stai parlando del teorema di Reisz, le cose cambiano: qui non stai più parlando tanto dell'isomorfismo in generale, quanto del fatto che gli operatori del duale si possano scrivere in modo unico come prodotto scalare (che è definito a priori - cosa che in generale non hai su un qualunque sazio vettoriale) sullo spazio stesso.
Ok, forse ci sono.
Mentre invece tra uno spazio Vettoriale Vn e il suo BiDuale Vn** c'è sempre un isomorfismo canonico?
Mentre invece tra uno spazio Vettoriale Vn e il suo BiDuale Vn** c'è sempre un isomorfismo canonico?
Posso intrufolarmi in questa discussione per chiedere cosa significa che un isomorfismo è canonico?
Non l'ho mai capito...
Non l'ho mai capito...
Che non dipende dalla scelta delle basi o dei rappresentanti. Per "estensione" si potrebbe dire che un isomorfismo è canonico se lo puoi definire in modo "globale" univocamente su tutto lo spazio (vedi il teorema di Reisz di cui sopra)
Ok, anche se la prima frase l'ho capita, mentre la seconda no...
ciampax, potresti confermarmi che un isomorfismo tra Vn e il suo biduale è canonico?
"AAnto":
Ok, forse ci sono.
Mentre invece tra uno spazio Vettoriale Vn e il suo BiDuale Vn** c'è sempre un isomorfismo canonico?
Significa che esiste una trasformazione naturale invertibile dal funtore identico di \(\bf fVect\) (gli spazi vettoriali di dimensione finita, e le loro mappe lineari) a quello che manda $V$ nel suo doppio duale \(V^{**}\).
Lo è se gli spazi hanno dimensione finita
Gentilissimi
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