Spazio vettoriale delle matrici che commutano
Ciao a tutti, rieccomi con l'ennesimo esercizio di algebra che mi fa mettere in dubbio le mie scelte di vita...
A parte gli scherzi, ecco la traccia:
Per quali scelte di \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n,n} \) l'insieme \(\displaystyle \{B \in \mathbb{R}^{n,n} : AB=BA\} \) è uno spazio vettoriale?
Da dove comincio? Sinceramente non conosco tutti i casi in cui il prodotto tra matrici commuta... So che se le due matrici sono diagonali il prodotto tra matrici si riduce al semplice prodotto elemento per elemento quindi le matrici commutano... Oppure nuovamente so che, se \(\displaystyle A = B^n \), il prodotto tra matrici commuta di nuovo o ancora, se \(\displaystyle \det B \neq 0 \) segue che \(\displaystyle B \) ammette inversa quindi in questo caso andrebbe bene anche \(\displaystyle A^{-1} \), oppure semplicemente quando \(\displaystyle A = 0 \)... Insomma, credo che questi non siano nemmeno tutti i casi... Come si affronta questo genere di quesito?
Essendo questo un sottoinsieme delle matrici quadrate di generica taglia, non devo ridefinire le operazioni giusto? mi vanno bene quelle che già si hanno in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) e inoltre so che valgono tutte le proprietà ad esse associate, è corretto?
Ciò che resta da verificare sono le proprietà di chiusura vero? Se si come si fa?
Grazie a tutti dell'aiuto
A parte gli scherzi, ecco la traccia:
Per quali scelte di \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n,n} \) l'insieme \(\displaystyle \{B \in \mathbb{R}^{n,n} : AB=BA\} \) è uno spazio vettoriale?
Da dove comincio? Sinceramente non conosco tutti i casi in cui il prodotto tra matrici commuta... So che se le due matrici sono diagonali il prodotto tra matrici si riduce al semplice prodotto elemento per elemento quindi le matrici commutano... Oppure nuovamente so che, se \(\displaystyle A = B^n \), il prodotto tra matrici commuta di nuovo o ancora, se \(\displaystyle \det B \neq 0 \) segue che \(\displaystyle B \) ammette inversa quindi in questo caso andrebbe bene anche \(\displaystyle A^{-1} \), oppure semplicemente quando \(\displaystyle A = 0 \)... Insomma, credo che questi non siano nemmeno tutti i casi... Come si affronta questo genere di quesito?
Essendo questo un sottoinsieme delle matrici quadrate di generica taglia, non devo ridefinire le operazioni giusto? mi vanno bene quelle che già si hanno in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) e inoltre so che valgono tutte le proprietà ad esse associate, è corretto?
Ciò che resta da verificare sono le proprietà di chiusura vero? Se si come si fa?
Grazie a tutti dell'aiuto
Risposte
E' sempre vero, per ogni $A$, e la dimostrazione consiste nel controllarlo. Fissa A e definisci \(\text{Comm}_A := \{B\in M_n(\mathbb R) \mid AB=BA\}\). Ora:
Per ogni $A$, la matrice zero sta in \(\text{Comm}_A\);
Assumendo che \(X,Y \in \text{Comm}_A\), e che \(a,b\) siano due numeri reali, è vero o no che \(aX+bY\in \text{Comm}_A\)? L'unica è verificare: \[(aX+bY)\cdot A \overset{1}= aX\cdot A + bY\cdot A \overset{2}= aA\cdot X + bA\cdot Y \overset{3}=A\cdot aX + A \cdot bY \overset{4}= A\cdot(aX+bY)\] la qual cosa conclude.
L'uguaglianza 1 è vera perché la moltiplicazione di matrici è bilineare; 2 perché \(X,Y \in \text{Comm}_A\); 3 perché è un'ovvia proprietà della moltiplicazione per scalari in uno spazio vettoriale (cioè \(M_n(\mathbb R)\)) e 4 è vera, di nuovo, perché la moltiplicazione di matrici è bilineare.
Per ogni $A$, la matrice zero sta in \(\text{Comm}_A\);
Assumendo che \(X,Y \in \text{Comm}_A\), e che \(a,b\) siano due numeri reali, è vero o no che \(aX+bY\in \text{Comm}_A\)? L'unica è verificare: \[(aX+bY)\cdot A \overset{1}= aX\cdot A + bY\cdot A \overset{2}= aA\cdot X + bA\cdot Y \overset{3}=A\cdot aX + A \cdot bY \overset{4}= A\cdot(aX+bY)\] la qual cosa conclude.
L'uguaglianza 1 è vera perché la moltiplicazione di matrici è bilineare; 2 perché \(X,Y \in \text{Comm}_A\); 3 perché è un'ovvia proprietà della moltiplicazione per scalari in uno spazio vettoriale (cioè \(M_n(\mathbb R)\)) e 4 è vera, di nuovo, perché la moltiplicazione di matrici è bilineare.
Ciao scusami, mi sembra abbastanza chiaro, ma di preciso cosa intendi con bilineare in questo caso, online non trovo nulla in merito al prodotto tra matrici... Grazie tante della risposta!!
"megas_archon":
L'uguaglianza 1 è vera perché la moltiplicazione di matrici è bilineare
Forse volevi dire che vale la proprietà distributiva della somma rispetto il prodotto?
$(X+Y)\cdot A=XA+YA$
"Lebesgue":
[quote="megas_archon"]
L'uguaglianza 1 è vera perché la moltiplicazione di matrici è bilineare
Forse volevi dire che vale la proprietà distributiva della somma rispetto il prodotto?
$(X+Y)\cdot A=XA+YA$[/quote] La "proprietà distributiva" destra e sinistra della moltiplicazione equivale a quella richiesta di bilinearità.
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