Spazio vettoriale delle funzioni $RR -> RR$

[_Matteo_C1]

Ragazzi, devo dimostrare che lo spazio vettoriale $RR^RR$ non è finitamente generato. Posso procedere dimostrando semplicemente che non è finitamente generato un suo sottospazio (dei polinomi di qualsiasi grado)? Oppure poi devo dimostrare che in generale se un sottospazio di uno spazio vettoriale non è finitamente generato allora neanche lo spazio lo è?
Grazie

[dissonance]

Posso procedere dimostrando semplicemente che non è finitamente generato un suo sottospazio

Si, va bene.

poi devo dimostrare che in generale se un sottospazio di uno spazio vettoriale non è finitamente generato allora neanche lo spazio lo è?

Beh si ma non è difficile vedere questo. Ragiona per assurdo.

[_Matteo_C1]

ok Allora, siano $V$ spazio vettoriale, e $W$ suo sottospazio non finitamente generato. Dimostro che non è finitamente generato anche $V$.

Supponiamo che $V$ sia finitamente generato, allora esiste un numero finito $n$ pari alla cardinalità di una qualsiasi base di $V$.
Considero $W$, il quale non è finitamente generato, perciò una sua base non ha un numero finito di vettori (estendendo la nozione di base anche a base di uno spazio non finitamente generato).

Siccome (per un altro teorema (*)) $dim_V >= dim_W $(perchè $W\inV$), risulta che il numero finito $n$ deve essere maggiore di un numero non finito, il che è assurdo, e dunque la supposizione iniziale è sbagliata.


Ci ho provato... E' possibile farlo vedere senza mettere in mezzo il teorema (*) ?