Spazio vettoriale delle applicazioni lineari

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Denotato con $L(V,W)$ l'insieme di tutte le applicazioni lineari $f:V->W$, essendo $V$ e $W$ due $K$-spazi vettoriali definiamo:

- Somma interna: $AAf,ginL(V,W), f+g:V->W$ definita da: $(f+g)(v)=f(v)+g(v)$, $AAvinV$;
- Prodotto esterno: $AAainK, AAfinL(V,W), a*f:V->W$ definita da: $(af)(v)=a*f(v)$, $AAvinV$.

Si vuol provare che, dotato di tali operazioni, l'insieme $L(V,W)$ risulta essere un $KK$-spazio vettoriale. Ho provato le proprietà della somma, mentre ho qualche dubbio sulle proprietà del prodotto; le riporto così come le ho dimostrate:
1) $AAa,binK, AAfinL(V,W), (ab)f=a*(b*f)$.
Dimostrazione
Trasformando contemporaneamente primo e secondo membro si ha: $[(ab)f](v)=[a(bf)](v) rArr (ab)f(v)=a(b*f)(v) rArr (ab)f(v)=abf(v)$ ma dal momento che $abf(v)inW$ e $W$ è un $K$-spazio vettoriale si può scrivere $abf(v)=(ab)f(v)$. La proprietà è provata.
2) $AAa,binK, AAfinL(V,W), (a+b)f=a*f+b*f$.
Dimostrazione
Trasformando contemporaneamente primo e secondo membro si ha: $[(a+b)f](v)=(af+ag)(v) rArr (a+b)f(v)=(a*f)(v)+(bf)(v)=a*f(v)+bf(v)$ ma dal momento che $a*f(v)+bf(v)inW$ e $W$ è un $K$-spazio vettoriale si può scrivere $a*f(v)+bf(v)=(a+b)f(v)$. La proprietà è provata.
3) $AAainK, AAf,ginL(V,W), a(f+g)=a*f+a*g$.
Dimostrazione
Si ha: $[a(f+g)](v)=(af+ag)(v)$. Trasformiamo il primo membro: $[a(f+g)](v)=a(f+g)(v)=a[f(v)+g(v)]$. Ma dal momento che $a[f(v)+g(v)]inW$ e $W$ è un $K$-spazio vettoriale si può scrivere $a[f(v)+g(v)]=af(v)+ag(v)$. Trasformiamo il secondo membro: $(af+ag)(v)=(af)(v)+(ag)(v)=af(v)+ag(v)$ La proprietà è provata.
4) Elemento neutro moltiplicativo: banale.

I ragionamenti svolti sono corretti? In particolare è corretto ricordare che $W$ è un $K$-spazio vettoriale per eseguire le operazioni da me indicate?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

Andrea

[cirasa]

Ho capito quello che vuoi dire e i tuoi ragionamenti sono tutti corretti.
Visto che è fatto tutto bene, permettimi di essere pignolo. Una semplice questione di espressione. Non mi piace quando scrivi

"Andrea90":
Trasformando contemporaneamente primo e secondo membro si ha: $[(ab)f](v)=[a(bf)](v) rArr (ab)f(v)=a(b*f)(v) rArr (ab)f(v)=abf(v)$ ma dal momento che $abf(v)inW$ e $W$ è un $K$-spazio vettoriale si può scrivere $abf(v)=(ab)f(v)$. La proprietà è provata.

Tu vuoi provare che $[(ab)f](v)=[a(bf)](v)$ per ogni $a,b\in K$, per ogni $f\in L(V,W)$ e per ogni $v\in V$.
Scrivendo $[(ab)f](v)=[a(bf)](v) rArr (ab)f(v)=a(b*f)(v)$ sembra che tu sappia che $[(ab)f](v)=[a(bf)](v)$ e ne deduca che $(ab)f(v)=a(b*f)(v)$.
Cosa che non è vera.
Per scrivere quanto volevi dire, avresti dovuto scrivere

$[(ab)f](v)=[a(bf)](v) \Leftrightarrow (ab)f(v)=a(b*f)(v) \Leftrightarrow (ab)f(v)=abf(v)$
Quindi se voglio provare che $[(ab)f](v)=[a(bf)](v)$ è sufficiente provare che $(ab)f(v)=abf(v)$. Ma quest'ultima affermazione è vera, in virtù del fatto che siamo nello spazio vettoriale $W$.

Allo stesso modo 2),3).

Scusa la pignoleria. Buono studio!

[Andrea902]

Ho apprezzato molto le tue precisazioni. E pensare che prima, mentre ho abbozzato la dimostrazione a matita sul quaderno, ho pensato la stessa cosa riguardo le implicazioni che, come abbiamo visto, in realtà sono delle "doppie" implicazioni!

Ti ringrazio!

Andrea