Spazio vettoriale con matrice 2x3
Salve ragazzi,ho riscontrato un problema nel risolvere questo esercizio,cioè non riesco a impostarlo,mi sapreste dare
una mano,gentilmente??
Graziee
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 x 3 e siano :
U = Lin [ $((0,0,0),(0,1,0))$ , $((0,0,0),(0,0,1))$ ]
W = { $((a-b,b,-a),(0,c,c))$ : a,b,c E R}
1)Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di V.
2)Calcolare la dimensione e determinare una base di W.
3)Calcolare la dimensione e determinare una base di U $nn$ W
una mano,gentilmente??
Graziee
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 x 3 e siano :
U = Lin [ $((0,0,0),(0,1,0))$ , $((0,0,0),(0,0,1))$ ]
W = { $((a-b,b,-a),(0,c,c))$ : a,b,c E R}
1)Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di V.
2)Calcolare la dimensione e determinare una base di W.
3)Calcolare la dimensione e determinare una base di U $nn$ W
Risposte
Ciao, iniziamo dal dimostrare che $$\begin{bmatrix}a-b&b&-a\\0&c&c\end{bmatrix}$$ è un SSV.
1. Ovviamente la matrice nulla appartiene a questo insieme
2. Siano $$\begin{bmatrix}a_1-b_1&b_1&-a_1\\0&c_1&c_1\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}a_2-b_2&b_2&-a_2\\0&c_2&c_2\end{bmatrix}$$ due matrici dell'insieme. La loro somma è data da $$\begin{bmatrix}a_1-b_1+a_2-b_2&b_1+b_2&-a_1-a_2\\0&c_1+c_2&c_1+c_2\end{bmatrix}$$ Come vedi questa fa ancora parte dell'insieme, quindi la proprietà della somma è verificata.
3. Verifichiamo la proprietà di moltiplicazione per uno scalare. Te la lascio come esercizio.
Riprendiamo la generica $$\begin{bmatrix}a-b&b&-a\\0&c&c\end{bmatrix}$$ e calcoliamo la dimensione e una base del SSV. La matrice si può facilmente riscrivere come $$a\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&0&0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$$ Cosa puoi concludere da questa riscrittura?
Per quanto riguarda l'intersezione direi di utilizzare la formula di Grassmann: $$\dim \left(U+W\right) = \dim U + \dim W - \dim \left(U \cap W\right)$$ Prova a impostare il tutto poi vediamo di risolvere eventuali problemi.
1. Ovviamente la matrice nulla appartiene a questo insieme
2. Siano $$\begin{bmatrix}a_1-b_1&b_1&-a_1\\0&c_1&c_1\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}a_2-b_2&b_2&-a_2\\0&c_2&c_2\end{bmatrix}$$ due matrici dell'insieme. La loro somma è data da $$\begin{bmatrix}a_1-b_1+a_2-b_2&b_1+b_2&-a_1-a_2\\0&c_1+c_2&c_1+c_2\end{bmatrix}$$ Come vedi questa fa ancora parte dell'insieme, quindi la proprietà della somma è verificata.
3. Verifichiamo la proprietà di moltiplicazione per uno scalare. Te la lascio come esercizio.
Riprendiamo la generica $$\begin{bmatrix}a-b&b&-a\\0&c&c\end{bmatrix}$$ e calcoliamo la dimensione e una base del SSV. La matrice si può facilmente riscrivere come $$a\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&0&0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$$ Cosa puoi concludere da questa riscrittura?
Per quanto riguarda l'intersezione direi di utilizzare la formula di Grassmann: $$\dim \left(U+W\right) = \dim U + \dim W - \dim \left(U \cap W\right)$$ Prova a impostare il tutto poi vediamo di risolvere eventuali problemi.
con la riscrittura posso concludere che sono tre matrici con basi linearmente indipendenti??
Quando vado a fare l'intersezione,la matrice finale come esce?cioè le colonne da quali vettori sono
costituiti??
Quando vado a fare l'intersezione,la matrice finale come esce?cioè le colonne da quali vettori sono
costituiti??
Sì, diciamo che con quella riscrittura puoi concludere che la dimensione del sottospazio è $3$ e che una sua base è data proprio da quelle tre matrici.
Per l'intersezione ora non ho tempo di fare i calcoli, però forse è comodo sfruttare l'isomorfismo tra queste matrici e $RR^6$, cioè convertire le matrici $$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}$$ nei vettori $$\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{bmatrix}$$
PS. Credo che la cosa abbia senso. In caso contrario... correggetemi!
Per l'intersezione ora non ho tempo di fare i calcoli, però forse è comodo sfruttare l'isomorfismo tra queste matrici e $RR^6$, cioè convertire le matrici $$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}$$ nei vettori $$\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{bmatrix}$$
PS. Credo che la cosa abbia senso. In caso contrario... correggetemi!
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