Spazio vettoriale

[leev]

Ciao raga,
mi è stato attribuito questo esercizio...ma sinceramente ho capito ben poco. Se qualcuno potesse darmi una mano...grazie.
(Dove scrivo v¬ intendo v con la lineetta sopra)

"Sia V un lambda-spazio vettoriale e U un suo sotto spazio vettoriale.
Sia v¬ la classe di equivalenza {x € V| v - x € V} associata a v € V.
Dimostrare che V/U = {v¬ | v € V} è un lambda-spazio vettoriale."

Diciamo ke stento un po a capire la definizione di V/U...

grazie, ciao.

L.L

[Sk_Anonymous]

Che cosa e' un lambda-spazio vettoriale?

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

uno spazio vettoriale definito un corpo che chiamiamo lambda...; lambda puo essere un qualsiasi corpo.

L.L

[Sk_Anonymous]

Anzitutto credo ci sia un errore di battitura nella definizione della classe di equivalenza. v-x dovrebbe stare in U, e' ovvio infatti che stia in V. Poi V/U, lo spazio quoziente, e' l'insieme delle classi di equivalenza: i suoi elementi sono sottoinsiemi di V (sono i sottospazi paralleli ad U). Ci sono considerazioni sottili da fare per dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale: devi definire delle nuove operazioni, e soprattutto devi stare attento che le operazioni risultino ben definite, non dipendano cioe' dal rappresentante della classe di equivalenza.

Ora, che io ti posti la soluzione per intero non ha senso, e non e' istruttivo. Se vuoi lo facciamo insieme; ti posso suggerire sui passaggi piu' delicati.

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

grazie luca77
mi piace l'idea.
In effetti ho sbagliato a scrivere, in quella definizione ci voleva una U.

Comunque, x iniziare , devo verificare che V/U sia un gruppo additivo non vuoto.
Non è vuoto perché c'è l'elemento 0¬ (giusto?!), visto che sicuramente 0 € V.
Poi però non ho già la minima idea di come poter definire un addizione tra classi d'equivalenza; suggerimento?

L.L

[Sk_Anonymous]

Beh, la prima cosa piu' naturale che ti verrebbe da fare, se le due classi sono rappresentate da v_1 e da v_2? La classe rappresentata da....

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

l'idea meno peggio ke mi viene sarebbe definirla come:
v_1+v_2 := {x € V | v1+v2-x € U}
?!?

L.L

[Sk_Anonymous]

Esatto: il rappresentante della somma tra le classi rappresentate da v_1 e v_2 e' proprio v_1+v_2. Attenzione: prima di verificare le proprieta' di spazio vettoriale, devi controllare che l'operazione sia ben definita: ovvero devi verificare che la definizione non dipende dalla scelta del rappresentante.

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

Sarebbe a dire che devo dimostrare ke v_1+v_2 è anche una classe di equivalenza?! (anche se in effetti per quello dovrebbe bastare il fatto che v1+v2 € V)
Se no, non ho ben capito cosa intendi.
Thx

L.L

[Sk_Anonymous]

Se denoto con [v_1] e [v_2] le classi rappresentate da v_1 e v_2 rispettivamente, allora tu definisci [v_1]+[v_2]:=[v_1+v_2]. Devi dimostrare che la definizione e' ben posta; infatti che ti dice che se prendi u_1 e u_2 altri rappresentanti delle classi [v_1] e [v_2] rispettivamente, allora [u_1+u_2]=[v_1+v_2]? Devi cioe' dimostrare che l'operazione definita

+: V/U x V/U --> V/U

e' una funzione.

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

Se prendo altri due rappresentati u_1 e u_2, avrei
[u_1]+[u_2]=[u_1+u_2] € V/U , e questo perché u_1,u_2 appartengono a V, allora u_1+u_2 appartiene anche a V.
Ho come il presentimetno che non ho capito niente

L.L

[Sk_Anonymous]

Effettivamente e' il punto piu' delicato da comprendere della questione; la mia prof. di Algebra all'Universita' ci diceva che il punto piu' difficile del corso di Algebra del primo anno sta nel capire il passaggio al quoziente.

Cerco di essere il piu' chiaro possibile, ci tengo molto che tu capisca per bene. Se tu prendi una funzione f : V x V --> V, allora per definizione deve essere vero che
(v_1,v_2)=(w_1,w_2) ==> f(v_1,v_2)=f(w_1,w_2)

Il punto e' che questa definizione va controllata nel nostro caso, caso in cui f e' la somma, e V e' uno spazio quoziente. Infatti, se V e' un quoziente, allora i suoi elementi sono insiemi, le classi di equivalenza, che indico con v tra parentesi quadre, essendo v un rapprsentante qualunque. Ora io definisco [v_1]+[v_2]:=[v_1+v_2], e questo lo posso fare. Ma devo verificare che l'applicazione
+ : V/U x V/U --> V/U
che manda una coppia di classi [v_1],[v_2] nella classe [v_1+v_2], e' una funzione. Devo quindi verificare che
([v_1],[v_2])=([w_1],[w_2]) ==> [v_1+v_2]=[w_1+w_2].


Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

Grazie della cortesia/comprensione luca!
Anche se mi sa che non sono ancora in chiarissimo.

Il discorso della funzione mi ha un po spiazzato...forse perché al corso non ho sentito parlare di funzione durante una prova di spazio vettoriale.
Comunque: a riguardo del tuo penultimo post mi chiedevo:
un rappresentante di una classe non definisce la classe stessa?
cioè, v_1 mi rappresenta [v_1], u_1: [u_1], etc
Chiaramente la vedo nel modo sbagliato; però, essendo una somma di classi, non capisco perché devo considerare i diversi elementi [oltre al rappresentante] appartenenti alla classe.

L.L

[Sk_Anonymous]

Una classe e' univocamente individuata da un suo rappresentante, ma la classe non individua univocamente il rappresentante, ovviamente. Moralmente quello che devi controllare e' che l'operazione di somma che fai su rappresentanti scelti a caso, non dipende dai rappresentanti scelti, perche' deve essere una somma di classi.

So che non e' facile da capire, quindi pensaci ancora fino a che risulti tutto chiaro.

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

)
Ok finalmente mi quadra (con l'ausilio di un assistente)...
Perlomeno, l'esercizio quadra; anche se penso che la faccenda devo ancora assorbirla pienamente...ma per quello immagino che ci voglia un po di pratica.

grazie ancora!
ciau

L.L