Spazio Vettoriale

[galles90]

Salve,

ho un dubbio con il seguente esercizio :

Sia \(\displaystyle A \)\(\displaystyle = \){\(\displaystyle x \in \mathbb{R} : x>0 \)}, per le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare sono definite rispettivamente da :
\(\displaystyle x+y=xy \forall x,y \in A \)
\(\displaystyle hx=x^h \forall x\in A , h\in \mathbb{R} \).

La soluzione : \(\displaystyle A \) è uno spazio vettoriale.

Per dire che un certo insieme \(\displaystyle A \) è uno spazio vettoriale, deve soddisfare le seguenti condizioni :

1) \(\displaystyle \forall x,y \in A \) la loro somma \(\displaystyle x+y \in A \)
2) Preso un \(\displaystyle h \in \mathbb{R} , x \in A \) associa un vettore \(\displaystyle hx \)
3) \(\displaystyle \forall x \in A \exists -x \in A \)

Le prime due non sono un problema per dimostrarle, invece il mio problema è per la 3), ma se l'insieme\(\displaystyle A \) contiene solo elementi \(\displaystyle x>0 \), non appartengono elementi \(\displaystyle x<0 \)

[LLG GKV]

Il $ -x $ sio riferisce ad un elemento di $ A $ tale che, detto $ +_A $ la tua operazione interna, in particolare, se $ +_A: Axx Ararr A $ è tale che \( +_A: x , y\longmapsto xy \) allora, detto $ -x $, questo elemento deve verificare $ (-x)+_A(x)=1_A $, quindi il tuo elemento $ -x $ è semplicemente il reciproco di $ x $ che, come sai, è definito per ogni reale non nullo, ed è positivo per $ x $ positivo.

[galles90]

Ottimo grazie