Spazio vettoriale
Confrontando vari libri riguardo alla definizione di spazio vettoriale, mi è capitato di leggere cose che mi sembra non siano perfettamente coincidenti:
Nella maggior parte dei libri consultati si parla di uno spazio definito su un campo $ mathbb(K) $ . Dunque questo insieme numerico $ mathbb(K) $ dovrà sostanzialmente essere un gruppo abeliano rispetto alla somma ed al prodotto. Il Lang si discosta da questa definizione:
dapprima fornisce una definizione di corpo affermando che un insieme $mathbb(A) $ si può chiamare corpo se :
a) $ \forall x,y \in mathbb(A) x+y \in mathbb(A) $ e $ xy \in mathbb(A) $ (operazione interna)
b) $ \forall x \in mathbb(A) -x \in mathbb(A) $ e $ AA x != 0 EE x^{-1} \in mathbb(A) $ (opposto)
c) $0,1 \in mathbb(A) $ (elemento neutro)
I dubbi sono tanti, a cominciare dal fatto che io ho sempre chiamato "corpo" un insieme munito di due operazioni rispetto alle quali è un gruppo abeliano per la somma e un gruppo non commutativo per il prodotto. Ma anche sorvolando la definizione di corpo, il Lang definisce il campo vettoriale su un corpo e non su un campo. A questo corpo di cui parla il Lang, mancherebbero dunque la distributività della somma e del prodotto e la commutatività degli stessi .
La domanda sorge spontanea..chi ha ragione ? E soprattutto, perchè? e poi, cos'è realmente un corpo ?
So che per la maggior parte si sta parlando di definizioni nominalistiche per cui mi aspetto anche la risposta che alcuni chiamano campo quello che altri chiamano corpo e viceversa. Ma per quanto riguarda il campo vettoriale, ci sarà un motivo per cui si preferisce l'uno piuttosto che l'altro.
Nella maggior parte dei libri consultati si parla di uno spazio definito su un campo $ mathbb(K) $ . Dunque questo insieme numerico $ mathbb(K) $ dovrà sostanzialmente essere un gruppo abeliano rispetto alla somma ed al prodotto. Il Lang si discosta da questa definizione:
dapprima fornisce una definizione di corpo affermando che un insieme $mathbb(A) $ si può chiamare corpo se :
a) $ \forall x,y \in mathbb(A) x+y \in mathbb(A) $ e $ xy \in mathbb(A) $ (operazione interna)
b) $ \forall x \in mathbb(A) -x \in mathbb(A) $ e $ AA x != 0 EE x^{-1} \in mathbb(A) $ (opposto)
c) $0,1 \in mathbb(A) $ (elemento neutro)
I dubbi sono tanti, a cominciare dal fatto che io ho sempre chiamato "corpo" un insieme munito di due operazioni rispetto alle quali è un gruppo abeliano per la somma e un gruppo non commutativo per il prodotto. Ma anche sorvolando la definizione di corpo, il Lang definisce il campo vettoriale su un corpo e non su un campo. A questo corpo di cui parla il Lang, mancherebbero dunque la distributività della somma e del prodotto e la commutatività degli stessi .
La domanda sorge spontanea..chi ha ragione ? E soprattutto, perchè? e poi, cos'è realmente un corpo ?
So che per la maggior parte si sta parlando di definizioni nominalistiche per cui mi aspetto anche la risposta che alcuni chiamano campo quello che altri chiamano corpo e viceversa. Ma per quanto riguarda il campo vettoriale, ci sarà un motivo per cui si preferisce l'uno piuttosto che l'altro.
Risposte
che io sappia,è sufficiente che K sia un corpo
@floriano94,
potresti dirmi la pg del Lang?
Saluti
potresti dirmi la pg del Lang?
Saluti
io ho studiato sia sul Lang che su altri testi, ma soprattutto gli spazi vettoriali, gli ho studiati sui miei appunti.
E precisamente avevo scritto.
Sia $mathbb(K) $ un insieme, $mathbb(K) $ è un campo o corpo se $\forall x,y \in mathbb(K) $:
1. $x+y \in mathbb(K), x\cdot y \in mathbb(K) $
2. $-x \in mathbb(K) $ e se $x\ne 0$ $x^(-1)\in mathbb(K) $
3. $0$ e $1$ $\in mathbb(K) $
per esempio $mathbb(C, R, Q) $ sono campi (o corpi), mentre $mathbb(N, Z) $ non sono campi (o corpi)
Definizione di sp. vettoriale:
V è uno sp. vettoriale sul campo $mathbb(K) $ un insieme di oggetti che possono essere addizionati fra loro e moltiplicati per un elementi di $mathbb(K) $ in modo che la somma di 2 elementi di V sia ancora un elemento di V e il prodotto di un elemento di V per un elemento di $mathbb(K) $ sia ancora un elemento di V. Devono essere soddisfatte le seguenti proprietà:
1. $\forall u,v,w \in W (u+v)+w=u+(v+w)$
2. $\exists 0u\in V : 0u+u=u+0u=u, \forall u \in V$
3. $\forall u\in V, \exists -u=-1 u\to u-u=0$
4. $\forall u,v\in V, u+v=v+u$
5. $\forall a \in mathbb(K), \forall u,v \in V \to a(u+v)=au+av$
6. $\forall a, b\in mathbb(K), \forall u\in V \to (a+b)u=a u +b u$
7. $\forall a, b \in mathbb(K), \forall u\in V \to (ab)u=b(a u)$
8. $1\cdot u= u, \forall u\in V$
spero che ti ho aiutato!..
E precisamente avevo scritto.
Sia $mathbb(K) $ un insieme, $mathbb(K) $ è un campo o corpo se $\forall x,y \in mathbb(K) $:
1. $x+y \in mathbb(K), x\cdot y \in mathbb(K) $
2. $-x \in mathbb(K) $ e se $x\ne 0$ $x^(-1)\in mathbb(K) $
3. $0$ e $1$ $\in mathbb(K) $
per esempio $mathbb(C, R, Q) $ sono campi (o corpi), mentre $mathbb(N, Z) $ non sono campi (o corpi)
Definizione di sp. vettoriale:
V è uno sp. vettoriale sul campo $mathbb(K) $ un insieme di oggetti che possono essere addizionati fra loro e moltiplicati per un elementi di $mathbb(K) $ in modo che la somma di 2 elementi di V sia ancora un elemento di V e il prodotto di un elemento di V per un elemento di $mathbb(K) $ sia ancora un elemento di V. Devono essere soddisfatte le seguenti proprietà:
1. $\forall u,v,w \in W (u+v)+w=u+(v+w)$
2. $\exists 0u\in V : 0u+u=u+0u=u, \forall u \in V$
3. $\forall u\in V, \exists -u=-1 u\to u-u=0$
4. $\forall u,v\in V, u+v=v+u$
5. $\forall a \in mathbb(K), \forall u,v \in V \to a(u+v)=au+av$
6. $\forall a, b\in mathbb(K), \forall u\in V \to (a+b)u=a u +b u$
7. $\forall a, b \in mathbb(K), \forall u\in V \to (ab)u=b(a u)$
8. $1\cdot u= u, \forall u\in V$
spero che ti ho aiutato!..
come precedentemente detto, è sufficiente che sia un corpo
buona giornata
buona giornata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo