Spazio semplicemente connesso

[anto84gr-votailprof]

Ciao a tutti, oggi vi faccio lavorare!! Ma il vostro aiuto è prezioso!!
Devo determinare una funzione α:S1→S2 continua e non costante, tale che S2−α(S1) è semplicemente connesso.

Io avrei pensato di prendere metà circonferenza e spostarla sull'altra metà in modo da formare un arco sulla sfera che va da polo nord a polo sud. Unica cosa è che non so come scrivere questa cosa e dimostrare il resto sempre ammesso che sia giusto!

Mi date una mano?

[vict85]

@ Anto84gr : è meglio se usi le formule invece della mappa caratteri. Inoltre non è neanche così difficile. Per esempio

$alpha : S^1 to S^2$ 

diventa $alpha : S^1 to S^2$ sul forum. Alternativamente puoi usare anche Latex.


Comunque basta prendere una funzione la cui immagine sia un arco di circonferenza. La più semplice che mi viene in mente è \(\displaystyle \alpha \colon (u,v) \mapsto (u,\lvert v\rvert, 0) \) dove \(\displaystyle u^2 + v^2 = 1 \).

[anto84gr-votailprof]

E come posso applicarlo a questa dimostrazione?

[vict85]

Dove vedi che viene usata? Cosa non capisci della dimostrazione?

[anto84gr-votailprof]

Il punto è: con la funzione che mi hai suggerito, come faccio a dimostrare che lo spazio è semplicemente connesso?
Avevo pensato di prendere come spunto la dimostrazione allegata, ma non se sia giusto e nel caso lo fosse come si faccia!

[vict85]

Io lo farei dimostrando prima che la semisfera (senza bordo) è un retratto di deformazione di quell'insieme e poi dimostrando che la semisfera è semplicemente connessa.

[anto84gr-votailprof]

Non abbiamo fatto i retratti!!