Spazio quoziente intuitivo
Ciao,
studiando geometria e in particolare lo spazio quoziente mi sono fatto un idea di come possa essere, ovvero io la vedo cosi': se nello s.q. ogni punto che e' multiplo di un altro diventano lo stesso $(x=k*y)$ potrei visualizzarmelo come una palla di dimensione n-1?
Ovvero, se siamo in $RR^3$ e' come dire che tutte le rette che passano per l origine si collassano in un punto, un po' come facciamo per la volta celeste quando guardiamo le stelle..
quindi lo spazio proiettivo diventa una "sfera" che la guardiamo dall interno..
puo' andare come cosa?
studiando geometria e in particolare lo spazio quoziente mi sono fatto un idea di come possa essere, ovvero io la vedo cosi': se nello s.q. ogni punto che e' multiplo di un altro diventano lo stesso $(x=k*y)$ potrei visualizzarmelo come una palla di dimensione n-1?
Ovvero, se siamo in $RR^3$ e' come dire che tutte le rette che passano per l origine si collassano in un punto, un po' come facciamo per la volta celeste quando guardiamo le stelle..
quindi lo spazio proiettivo diventa una "sfera" che la guardiamo dall interno..
puo' andare come cosa?
Risposte
Non è proprio così ma ci sei vicino. Pensa al piano proiettivo come quoziente di $RR^3$: per ottenerlo da una sfera, devi identificare tra loro due punti della sfera diametralmente opposti, oppure considerare solo una semisfera. Ci sono varie costruzioni simili e tutte sono parecchio illuminanti: ad esempio è bellissima la proiezione stereografica.
@dissonance: se consideriamo solo una semisfera cosa succede ai punti del bordo della circonferenza ? mi spiego meglio, quello che io ho capito è che considerato lo spazio quoziente della sfera $S^2$ rispetto alla relazione che identifica i punti antipodali, questo è omeomorfo al quoziente della semisfera rispetto alla relazione di equivalenza (ottenuta come restrizione della precedente) e quindi i punti antipodali del bordo della circonferenza vanno identificati? e cosa ottengo?
Ragazzi, una spiegazione secondo me sufficientemente chiara si trova sui libri di Sernesi:
su Geometria 1, pag.323- §25.4;
su Geometria 2, pag.83-85, §7.12, §7.13.
Vedete un po' se li ritrovate.
su Geometria 1, pag.323- §25.4;
su Geometria 2, pag.83-85, §7.12, §7.13.
Vedete un po' se li ritrovate.
ok adesso li cercherò quei libri però non ho capito dove non va bene il mio esempio..
ok, grazie!
"d4ni":Non hai aggiunto che devi considerare uguali due punti diametralmente opposti.
ok adesso li cercherò quei libri però non ho capito dove non va bene il mio esempio..
"Zilpha":La "circonferenza" sarebbe il bordo della semisfera, suppongo. Allora si, vanno identificati. Questa è la proiezione stereografica: prendi un piano euclideo e appoggiaci sopra una semisfera trasparente, quindi piazza una lampadina nel centro della semisfera e accendila. I punti della semisfera, tranne quelli sull'equatore, vengono così proiettati sul piano; i punti dell'equatore invece non si proiettano sul piano, perché sono punti impropri.
i punti antipodali del bordo della circonferenza vanno identificati?
"dissonance":
La "circonferenza" sarebbe il bordo della semisfera, suppongo.
Si esatto sono stata un pò confusionaria, ho scritto il bordo della circonferenza.
Grazie, ottima spiegazione!
Un video bellissimo su questo argomento è Möbius Transformations Revealed:
http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY
Però attenzione: la proiezione stereografica che vedi lì non è quella di cui stiamo parlando noi. E' simile ma non uguale. Infatti lì si mette una lampadina nel polo nord di una sfera. E' una variante che serve a costruire (un modello di) [tex]\mathbb{P}^1(\mathbb{C})[/tex], mentre noi stiamo costruendo [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{R})[/tex].
http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY
Però attenzione: la proiezione stereografica che vedi lì non è quella di cui stiamo parlando noi. E' simile ma non uguale. Infatti lì si mette una lampadina nel polo nord di una sfera. E' una variante che serve a costruire (un modello di) [tex]\mathbb{P}^1(\mathbb{C})[/tex], mentre noi stiamo costruendo [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{R})[/tex].
ah, quindi son due cose diverse!
infatti quando tu prima hai tirato fuori la proiezione stereografica io pensavo che tu parlassi appunto dell omeomorfismo dalla palla senza il Polo Nord al piano, e infatti non capivo cosa c entrasse..
ma allora la proiez stereograica che tu parli qual è?
EDIT: comunque il video stupendo.
infatti quando tu prima hai tirato fuori la proiezione stereografica io pensavo che tu parlassi appunto dell omeomorfismo dalla palla senza il Polo Nord al piano, e infatti non capivo cosa c entrasse..
ma allora la proiez stereograica che tu parli qual è?
EDIT: comunque il video stupendo.
davvero molto bello questo video!
"d4ni":Quella di cui parlo io non so se si chiama "proiezione stereografica", in realtà. "Proiezione stereografica" è quella del video. Nel video, come vedi facilmente, esiste un solo punto all'infinito, infatti si sta trattando [tex]\mathbb{P}^1(\mathbb{C})[/tex], ovvero [tex]\mathbb{C}\cup\{ \infty \}[/tex]. Per realizzare un modello di [tex]\mathbb{P}^2(\mathbb{R})[/tex] bisogna mettere la lampadina nel centro della sfera, e non nel polo nord. In questa maniera la retta impropria viene a coincidere con l'equatore della sfera a patto di identificare tra loro i punti antipodali.
ma allora la proiez stereograica che tu parli qual è?
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