Spazio quoziente.
Non capisco perchè l'applicazione suriettiva $\pi$ che associa ad ogni punto il suo antipodale definita da la circonferenza $S^1$ ha come immagine lo spazio proiettivo reale di dimensione 1 $P^1(R)$
Risposte
Immagino che il proiettivo reale l'avete definito nel seguente modo: $P^1(R)={RR^2-{0}}/sim$ con $r\sim q<=>EE\lambda\in RR:r=lambda q$.
Detto in altri termini i punti del proiettivo sono le orbite dell'azione $RRxRR^2->RR^2$ definita come $(lambda,v)->lambda v$(un'orbita $G(v)={lambdav|lambda\in RR}$). Essendo che le orbite sono delle classi di equivalenza i punti del proiettivo sono dei rappresentanti di queste orbite.
Considera quindi un punto $p\in S^1$ e considera il sottospazio vettoriale $span{v}$
hai che per $lambda=-1$ ottieni l'antipodale di $v$.
Quozientare $S^1$ per questa relazione o quozientare l'intero spazio vettoriale è la stessa cosa, essendo che il rappresentante $v\in S^1$ è sia il rappresentante del quoziente antipodale sia il rappresentante per l'orbita $G(v)$ in $RR^2$. L'idea della questione è dunque questa
Detto in altri termini i punti del proiettivo sono le orbite dell'azione $RRxRR^2->RR^2$ definita come $(lambda,v)->lambda v$(un'orbita $G(v)={lambdav|lambda\in RR}$). Essendo che le orbite sono delle classi di equivalenza i punti del proiettivo sono dei rappresentanti di queste orbite.
Considera quindi un punto $p\in S^1$ e considera il sottospazio vettoriale $span{v}$
hai che per $lambda=-1$ ottieni l'antipodale di $v$.
Quozientare $S^1$ per questa relazione o quozientare l'intero spazio vettoriale è la stessa cosa, essendo che il rappresentante $v\in S^1$ è sia il rappresentante del quoziente antipodale sia il rappresentante per l'orbita $G(v)$ in $RR^2$. L'idea della questione è dunque questa
"fu^2":
Immagino che il proiettivo reale l'avete definito nel seguente modo: $P^1(R)={RR^2-{0}}/sim$ con $r\sim q<=>EE\lambda\in RR:r=lambda q$.
Questa definizione non l'avevo mai vista. I rappresentanti nella classe sono infiniti punti (che equivale se non dico schicchezze al punto in coordinate omogenee). Perchè tolgo l'origine?
no la classe sono infiniti punti, il rappresentante è uno. Poi ci sono infinite clssi, ma questo è un altro discorso.
Tolgo lo zero se no tutte le classi di equivalenza avrebbero l'origine in comune e non sarebbero disgiunte.
Te che definizione hai dato al proiettivo?
Tolgo lo zero se no tutte le classi di equivalenza avrebbero l'origine in comune e non sarebbero disgiunte.
Te che definizione hai dato al proiettivo?
Il proff del coro precedente lo aveva definito come lo spazio affine con l'agginta dei punti impropri, quindi nn avevo un rappresentazione algebrica compatta. COme questa che mi hai dato tu. Grazie. Ci penso un attimo e poi ti ri-romopi per l'ennesima volta
beh potresti far vedere che questa definizione è equivalente a quella data dal tuo prof, lo puoi fare definendo opportunamente una mappa in coordinate omogenee partendo da questa definizione che ti ho dato
nn ti sfugge proprio nulla è infatti ci avevo pensato anche io;)
infatti ci avevo pensato anche io;)
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