Spazio proiettivo e punti impropri
Salve lo so che forse mi faccio troppi problemi ma siate buoni 
Per generare una retta impropria o un piano improprio, servono rispettivamente $2$ e $3$ punti impropri oppure per generare una retta impropria è suppricente un punto proprio ed uno improprio, analogamente per il piano improprio serve una retta impropria ed un punto proprio e una retta impropria ed un punto improprio?
Per generare una retta impropria o un piano improprio, servono rispettivamente $2$ e $3$ punti impropri oppure per generare una retta impropria è suppricente un punto proprio ed uno improprio, analogamente per il piano improprio serve una retta impropria ed un punto proprio e una retta impropria ed un punto improprio?
Risposte
Beh, credo tu sappia rispondere da sola a questa domanda... Pensaci un attimo.
Credo che per una retta impropria sia sufficente un punto improprio, che dia la direzione dell'infinito ed uno proprio, analogamente per il piano improprio credo che serva una retta impropria, che abbia almeno un punto improprio, ed un punto proprio, quindi sempre 3 punti non allineati ed almeno uno improprio. Che ne pensi?
P.s.
Posso avere sempre una retta propria, senza punti all'infinito in uno spazio proiettivo?Credo di si.
P.s.
Posso avere sempre una retta propria, senza punti all'infinito in uno spazio proiettivo?Credo di si.
"squalllionheart":
Posso avere sempre una retta propria, senza punti all'infinito in uno spazio proiettivo?
e no! e allora dove sta tutta l'importanza degli spazi proiettivi? Prova ad applicare la formula di Grassmann proiettiva (che poi è un po' il piatto forte degli spazi proiettivi) ad una retta e all'iperpiano improprio. In particolare fatti questo ragionamento nel piano proiettivo reale, magari ragionando graficamente.
"squalllionheart":
Credo che per una retta impropria sia sufficente un punto improprio, che dia la direzione dell'infinito ed uno proprio, analogamente per il piano improprio credo che serva una retta impropria, che abbia almeno un punto improprio, ed un punto proprio, quindi sempre 3 punti non allineati ed almeno uno improprio. Che ne pensi?
Temo non sia così... Dati due punti $P$,$I$ in $P^n$, il primo proprio, il secondo improprio, la retta $P vvv I$ risulta essere propria (è ovvio che non può essere contenuta nell'iperpiano improprio, avendo uno (e quindi infiniti) punti propri). Quindi si devono prendere due punti impropri per avere una retta impropria.
"squalllionheart":
Posso avere sempre una retta propria, senza punti all'infinito in uno spazio proiettivo?Credo di si.
No. Se $P^n$ è lo Spazio Proiettivo (di dimensione $n$), $h$ l'iper-piano improprio (o all'infinito, di dimensione $n-1)$, $r$ una retta in $P^n$ (non contenuta in $h$). Dalla formula di Grassmann si trae che:
$dim(r ^^^ h)=dimr+dimh-dim(r vvv h)=1+(n-1)-n=0$
e quindi $r ^^^ h$ è un punto.
E tre punti impropri per un piano improprio?
Vi amo profondamente lo sapete?;)
Vi amo profondamente lo sapete?;)
"squalllionheart":
E tre punti impropri per un piano improprio?
Vi amo profondamente lo sapete?;)
Si. Oppure (ma è la stessa cosa...) una punto improprio ed una retta impropria...
Guarda che, per come la vedo io, quando parli di geometria proiettiva non c'è tanto da distinguere tra punti propri e impropri. Questa distinzione è invece nella sfera della geometria affine. Quindi, in uno spazio proiettivo di dimensione sufficientemente grande tre punti indipendenti generano un piano. Stop.
La tua domanda va riformulata così: in uno spazio proiettivo, una volta che abbiamo preso un iperpiano e lo abbiamo chiamato "improprio", ci può essere un piano tutto contenuto lì dentro?
Risposta: dipende dalla dimensione dell' iperpiano. Se è almeno 2 (e quindi se lo spazio proiettivo ha dimensione almeno 3) sì.
Questo perché la dimensione di un sottospazio proiettivo è il massimo numero di punti indipendenti (meno uno) che possiamo trovarci dentro. E allora la tua domanda diventa: riusciamo a trovare tre punti indipendenti nell'iperpiano improprio (o anche in un altro, ripeto che dal punto di vista proiettivo sono indistinguibili)? Risposta: sì se la dimensione dell'iperpiano è almeno tre meno uno, quindi due. Quindi se lo spazio ha dimensione almeno 3.
Geometricamente, pensa al piano proiettivo reale. La retta impropria è, appunto, una retta. Come potresti ficcarci dentro un piano?
P.S.: Mi riferivo alla domanda di squalllionheart, chiaramente!
La tua domanda va riformulata così: in uno spazio proiettivo, una volta che abbiamo preso un iperpiano e lo abbiamo chiamato "improprio", ci può essere un piano tutto contenuto lì dentro?
Risposta: dipende dalla dimensione dell' iperpiano. Se è almeno 2 (e quindi se lo spazio proiettivo ha dimensione almeno 3) sì.
Questo perché la dimensione di un sottospazio proiettivo è il massimo numero di punti indipendenti (meno uno) che possiamo trovarci dentro. E allora la tua domanda diventa: riusciamo a trovare tre punti indipendenti nell'iperpiano improprio (o anche in un altro, ripeto che dal punto di vista proiettivo sono indistinguibili)? Risposta: sì se la dimensione dell'iperpiano è almeno tre meno uno, quindi due. Quindi se lo spazio ha dimensione almeno 3.
Geometricamente, pensa al piano proiettivo reale. La retta impropria è, appunto, una retta. Come potresti ficcarci dentro un piano?
P.S.: Mi riferivo alla domanda di squalllionheart, chiaramente!
giusto. L'idea era un altra cioè poichè servono 2 punti per generare una retta all'infinito, servono anche 3 punti impropri per genereare un piano all'infinito?
"dissonance":
Guarda che, per come la vedo io, quando parli di geometria proiettiva non c'è tanto da distinguere tra punti propri e impropri. Questa distinzione è invece nella sfera della geometria affine. Quindi, in uno spazio proiettivo di dimensione sufficientemente grande tre punti indipendenti generano un piano. Stop.
La tua domanda va riformulata così: in uno spazio proiettivo, una volta che abbiamo preso un iperpiano e lo abbiamo chiamato "improprio", ci può essere un piano tutto contenuto lì dentro?
Risposta: dipende dalla dimensione dell' iperpiano. Se è almeno 2 (e quindi se lo spazio proiettivo ha dimensione almeno 3) sì.
Questo perché la dimensione di un sottospazio proiettivo è il massimo numero di punti indipendenti (meno uno) che possiamo trovarci dentro. E allora la tua domanda diventa: riusciamo a trovare tre punti indipendenti nell'iperpiano improprio (o anche in un altro, ripeto che dal punto di vista proiettivo sono indistinguibili)? Risposta: sì se la dimensione dell'iperpiano è almeno tre meno uno, quindi due. Quindi se lo spazio ha dimensione almeno 3.
Geometricamente, pensa al piano proiettivo reale. La retta impropria è, appunto, una retta. Come potresti ficcarci dentro un piano?
P.S.: Mi riferivo alla domanda di squalllionheart, chiaramente!
Grazie per la precisazione, Dissonance... Scrivendo, si danno per scontate cose che andrebbero precisate...
Speriamo solo di non creare confusione nella testa della nostra amica...
ok
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