Spazio proiettivo come spazio vettoriale e isomorfismi

[Daniele Florian]

Premessa: conosco la definizione di spazio proiettivo come spazio quoziente ecc ecc... quello che sto provando di fare ora è aggiungere "qualcosa in più" per capire la struttura di tale spazio...

Sia
$ P(RR^(2))=P^1(RR) $
lo spazio proiettivo di dimensione 1.

Sappiamo che, se per elementi consideriamo $[a,b,c]$ certamente non possiamo sommare membro a membro, in quanto:
$[1,0,0]=[17,0,0]$
Quindi vorrebbe dire che
$[1,0,0]+[0,0,1]=[17,0,0]+[0,0,1]$ che chiaramente è assurdo, quindi con questa operazione non si può costruire uno spazio vettoriale.

Però mi chiedo innanzitutto se si può fare definendo l operazione in un altro modo, e in particolare se vale il seguente isomorfismo:

$P^1(RR) \simeq RR uu {P}$

con P "punto all infinito".

Se questo isomorfismo come mi pare ad occhi esiste allora è possibile creare una struttura di spazio vettoriale su
$P^1(RR)$

Pareri/consigli/dritte?

[Daniele Florian]

Facendo i calcoli mi risulterebbe che su $P(RR)$ valgono le seguenti operazioni per renderlo spazio vettoriale:

$[(x_1,y_1)]*[(x_2,y_2)]=[(x_1 x_2, y_2 x_1+y_1 x_2)]$
$k*[(x_1,y_1)]=[(x, k y_1/x_1 x)]$

Può andare?