Spazio proiettivo
Buonasera, sto studiando lo spazio proiettivo (non so se è normale ma non ne avevo mai sentito parlare prima) e sinceramente mi trovo parecchio in difficoltà,ma così tanto che quasi non so come fare a porvi i miei dubbi. A partire proprio dalle basi, non ci sto capendo nulla.
Inizio a scrivere, o almeno ci provo, alcuni miei dubbi, nella speranza di sbloccare poi da sola i successivi.
Dagli appunti che sto seguendo (prestati perchè non ho mai potuto seguire il corso) e dai libri, lo spazio proiettivo mi viene presentato come una terna $P=(S,V(k),p)$, con $S$ sostegno di punti,$V(k)$ spazio proiettante e $p$ proiezione $p:V(k)->S$.
Vengono fatti alcuni esempi di spazi proiettivi e poi ci si ricava l'ampliamento proiettivo di uno spazio affine, da qui inizio ad andare a panico.
(Premetto che "ho precisato dai miei appunti parla di spazio proiettivo in questo modo" perchè molte volte, in varie ricerche fatte, viene presentato direttamente come ampliamento, e non so se è la stessa cosa, ma ho pensato che sia un modo per arrivare più velocemente poi alle quadriche.)
Tornando all'ampliamento: a partire da spazio affine $A=(S,V_n(k),g)$ (parto direttamente da uno spazio di dimensione finita) ampliamo a $P^n=(S^{\prime},V^{\prime},P)$, costruendo prima uno spazio vettoriale $V^{\prime}=V_(n+1)(k)=V_n(k) x k$ di riferimento $R^{\prime}=((vec e_1,0),...,(vec e_n,0),(vec 0,1)$,($?$ ma quindi ora io come lo devo vedere questo riferimento), poi si considera il sostegno ampliandolo a $S^{\prime}=SuuDelta$, dove $Delta$ è l'insieme delle direzioni delle rette ($?$ ma perchè vengono aggiunte le direzioni) e poi la proiezione sarà tale che $p: V^{\prime}(k)->S^{\prime}$ e a $(vecu,h)$ associa $A+(1/h)*vecu $ se $h!=0$ altrimenti associa $[vecu]$ ($???$)
Poi sottospazi e sottospazio generato e congiungente mi sono abbastanza chiari, il problema sorge di nuovo quando considera il riferimento vettoriale normalizzato associato al riferimento proiettivo, ma in tale riferimento i vettori sono quindi ortonormali? Perchè dalla spiegazione che mi viene data io non li riesco a vedere tali.
Ne ho ancora tanti di punti di domanda, dalle coordinate omogenee all'iperpiano all'infinito (insomma tutto), ma ne ho già posti troppo, spero davvero possiate aiutarmi.
Grazie mille in anticipo
Inizio a scrivere, o almeno ci provo, alcuni miei dubbi, nella speranza di sbloccare poi da sola i successivi.
Dagli appunti che sto seguendo (prestati perchè non ho mai potuto seguire il corso) e dai libri, lo spazio proiettivo mi viene presentato come una terna $P=(S,V(k),p)$, con $S$ sostegno di punti,$V(k)$ spazio proiettante e $p$ proiezione $p:V(k)->S$.
Vengono fatti alcuni esempi di spazi proiettivi e poi ci si ricava l'ampliamento proiettivo di uno spazio affine, da qui inizio ad andare a panico.
(Premetto che "ho precisato dai miei appunti parla di spazio proiettivo in questo modo" perchè molte volte, in varie ricerche fatte, viene presentato direttamente come ampliamento, e non so se è la stessa cosa, ma ho pensato che sia un modo per arrivare più velocemente poi alle quadriche.)
Tornando all'ampliamento: a partire da spazio affine $A=(S,V_n(k),g)$ (parto direttamente da uno spazio di dimensione finita) ampliamo a $P^n=(S^{\prime},V^{\prime},P)$, costruendo prima uno spazio vettoriale $V^{\prime}=V_(n+1)(k)=V_n(k) x k$ di riferimento $R^{\prime}=((vec e_1,0),...,(vec e_n,0),(vec 0,1)$,($?$ ma quindi ora io come lo devo vedere questo riferimento), poi si considera il sostegno ampliandolo a $S^{\prime}=SuuDelta$, dove $Delta$ è l'insieme delle direzioni delle rette ($?$ ma perchè vengono aggiunte le direzioni) e poi la proiezione sarà tale che $p: V^{\prime}(k)->S^{\prime}$ e a $(vecu,h)$ associa $A+(1/h)*vecu $ se $h!=0$ altrimenti associa $[vecu]$ ($???$)
Poi sottospazi e sottospazio generato e congiungente mi sono abbastanza chiari, il problema sorge di nuovo quando considera il riferimento vettoriale normalizzato associato al riferimento proiettivo, ma in tale riferimento i vettori sono quindi ortonormali? Perchè dalla spiegazione che mi viene data io non li riesco a vedere tali.
Ne ho ancora tanti di punti di domanda, dalle coordinate omogenee all'iperpiano all'infinito (insomma tutto), ma ne ho già posti troppo, spero davvero possiate aiutarmi.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Che casino! Riparti dall'inizio; immagino che lo spazio proiettivo ti sia stato definito mediante \(p : V(k) \to \mathbb{P}(k)\) dove $p$ è la proiezione sul quoziente rispetto alla relazione di equivalenza che identifica due vettori non nulli se sono proporzionali.
Più che un ampliamento dello spazio affine a uno proiettivo, secondo me è più semplice immaginare che lo spazio proiettivo, a cui hai rimosso un iperpiano, sia omeomorfo a uno spazio affine. Per dire questa cosa, però, ti serve introdurre la nozione di riferimento proiettivo, che è sostanzialmente una base di $V$, passata al quoziente, a cui hai aggiunto un punto che fa da "unità" (di fatto, spesso si sceglie la somma di tutti i vettori della base).
Più che un ampliamento dello spazio affine a uno proiettivo, secondo me è più semplice immaginare che lo spazio proiettivo, a cui hai rimosso un iperpiano, sia omeomorfo a uno spazio affine. Per dire questa cosa, però, ti serve introdurre la nozione di riferimento proiettivo, che è sostanzialmente una base di $V$, passata al quoziente, a cui hai aggiunto un punto che fa da "unità" (di fatto, spesso si sceglie la somma di tutti i vettori della base).
killing_buddha grazie mille per la rispota. Purtroppo è un casino perchè io nella mia testa ho una grande confusione a riguardo...e credo che tale rimarrà. Non lo capirò mai.
Non con gli stessi termini ma suppongo che il senso sia quello, infatti \(p : V(k) \to \mathbb(k)\) tale che $p$ sia suriettiva e tale che sia $p(vecu)=p(vecv) hArr EE kinK | vecu=kvecv$
Non capisco perchè si va a togliere l'iperpiano.
Comunque infatti, nell'introdurre il riferimento proiettivo, consideriamo punti (fondamentali) ottenuti da proiezioni di vettori linearmente indipendenti e l'ultimo (punto unitario) ottenuto come proiezione della somma dei primi. Ma io alcuni di questi passaggi sinceramente non li capisco...ad esempio perchè tale punto fa da unità?
"killing_buddha":
Che casino! Riparti dall'inizio; immagino che lo spazio proiettivo ti sia stato definito mediante \(p : V(k) \to \mathbb{P}(k)\) dove $p$ è la proiezione sul quoziente rispetto alla relazione di equivalenza che identifica due vettori non nulli se sono proporzionali. .
Non con gli stessi termini ma suppongo che il senso sia quello, infatti \(p : V(k) \to \mathbb(k)\) tale che $p$ sia suriettiva e tale che sia $p(vecu)=p(vecv) hArr EE kinK | vecu=kvecv$
"killing_buddha":
Più che un ampliamento dello spazio affine a uno proiettivo, secondo me è più semplice immaginare che lo spazio proiettivo, a cui hai rimosso un iperpiano, sia omeomorfo a uno spazio affine. Per dire questa cosa, però, ti serve introdurre la nozione di riferimento proiettivo, che è sostanzialmente una base di $V$, passata al quoziente, a cui hai aggiunto un punto che fa da "unità" (di fatto, spesso si sceglie la somma di tutti i vettori della base).
Non capisco perchè si va a togliere l'iperpiano.
Comunque infatti, nell'introdurre il riferimento proiettivo, consideriamo punti (fondamentali) ottenuti da proiezioni di vettori linearmente indipendenti e l'ultimo (punto unitario) ottenuto come proiezione della somma dei primi. Ma io alcuni di questi passaggi sinceramente non li capisco...ad esempio perchè tale punto fa da unità?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo