Spazio prodotto tensoriale
Vorrei chiedervi informazioni riguardo la definizione di spazio vettoriale T definito dal prodotto tensoriale tra due spazi vettoriali V e W. Ho cercato on-line la definizione di spazio vettoriale libero, ma ho trovato solo un accenno, che dice che si può definire lo spazio prodotto tensoriale partendo da uno spazio vettoriale libero e poi usare delle relazioni d'equivalenza, oppure esiste un'altra definizione di T che si rifà ad applicazioni multilineari. Sapete dove posso trovare informazioni più dettagliate riguardo alla prima definizone e allo spazio vettoriale libero?
Risposte
"killing_buddha":
Sì, leggi qui http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... =65&t=1055
Esiste una versione in PDF?
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L'avevo fatto ma le formule vengono sbiadite 
Non capisco però il concetto di somme formali; se sono solo simboli allora perchè chiamarli esattamente come i vettori di base degli spazi che vanno a comporre il prodotto tensoriale? Cosa significa assumere basi come somme formali? Se sono solo simboli, che collegamento hanno con gli spazi che vanno a comporre il prodotto?
Non c'è niente di strano in questa definizione. Ogni spazio vettoriale è l'insieme delle somme formali di multipli scalari di elementi di una sua base.
MIND = BLOWN.
MIND = BLOWN.
Appunto per questo non capisco il legame che c'è tra i due spazi vettoriali V, W ( di dimensione n e m) e $ Vox W $; mi verrebbe da dire che $ Vox W $ è semplicemente un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione m*n, senza alcun collegamento con V e W...
No, il prodotto tensoriale è un certo spazio che ha una proprietà universale rispetto a $V,W$, il punto è esattamente che esso è univocamente caratterizzato, a meno di isomorfismo, dall'avere tale proprietà.
Trovo molto strano che sia un concetto così difficile da capire, quello di proprietà universale: rende la matematica classica semi-triviale.
Trovo molto strano che sia un concetto così difficile da capire, quello di proprietà universale: rende la matematica classica semi-triviale.
Affinché esista \(V\otimes W\) deve esistere una mappa bilineare universale \(\tau_{VW} : V\times W \to V\otimes W\) iniziale con questa proprietà, ossia tale che data un'altra mappa bilineare \(f : V\times W\to Z\) esista un'unica \(F : V\otimes W\to Z\) tale che \(f = F\circ \tau\):
\[
\begin{CD}
V\times W @>\tau>> V\otimes W\\
@VfVV @VVFV \\
Z @= Z
\end{CD}
\]
Dimostra che quando un tale spazio esiste, esso è unico a meno di un unico isomorfismo, ossia se \(V\otimes' W\) soddisfa la stessa proprietà, allora esiste un unico isomorfismo \(V\otimes W\cong V\otimes' W\).
Dimostra che il quoziente
\[
K^{(V\times W)}\Big/\Big\langle \begin{smallmatrix} (v,aw)-(av,w)-a(v,w) \\ (v+v',w)-(v,w)-(v',w)\\(v,w+w')-(v,w)-(v,w')\end{smallmatrix}\mid v,v'\in V,w,w'\in W, a\in K\Big\rangle
\]
soddisfa questa proprietà, se \(K^{V\times W} = \bigoplus_{(v,w)\in V\times W} K\) è lo spazio vettoriale che ha per base l'insieme \(|V\times W| =|V| \times |W|\), e la relazione di equivalenza \(\simeq\) tra parentesi angolate è quella generata da \((v,aw)\simeq (av,w)\simeq a(v,w) \), \((v+v',w)\simeq (v,w)+(v',w)\), e \((v,w+w')\simeq (v,w) + (v,w')\). Allora, la mappa $\tau$ è definita nella maniera tautologica come $\tau : (v,w)\mapsto v\otimes w$, dove $v\otimes w$ indica la classe di equivalenza di $(v,w)$ nel quoziente \(K^{(V\times W)}/\!\simeq\)
\[
\begin{CD}
V\times W @>\tau>> V\otimes W\\
@VfVV @VVFV \\
Z @= Z
\end{CD}
\]
Dimostra che quando un tale spazio esiste, esso è unico a meno di un unico isomorfismo, ossia se \(V\otimes' W\) soddisfa la stessa proprietà, allora esiste un unico isomorfismo \(V\otimes W\cong V\otimes' W\).
Dimostra che il quoziente
\[
K^{(V\times W)}\Big/\Big\langle \begin{smallmatrix} (v,aw)-(av,w)-a(v,w) \\ (v+v',w)-(v,w)-(v',w)\\(v,w+w')-(v,w)-(v,w')\end{smallmatrix}\mid v,v'\in V,w,w'\in W, a\in K\Big\rangle
\]
soddisfa questa proprietà, se \(K^{V\times W} = \bigoplus_{(v,w)\in V\times W} K\) è lo spazio vettoriale che ha per base l'insieme \(|V\times W| =|V| \times |W|\), e la relazione di equivalenza \(\simeq\) tra parentesi angolate è quella generata da \((v,aw)\simeq (av,w)\simeq a(v,w) \), \((v+v',w)\simeq (v,w)+(v',w)\), e \((v,w+w')\simeq (v,w) + (v,w')\). Allora, la mappa $\tau$ è definita nella maniera tautologica come $\tau : (v,w)\mapsto v\otimes w$, dove $v\otimes w$ indica la classe di equivalenza di $(v,w)$ nel quoziente \(K^{(V\times W)}/\!\simeq\)
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