Spazio metrico, vettoriale metrico, euclideo
Qual è la differenza tra spazio metrico, spazio vettoriale metrico e spazio euclideo?
Girando su libri, e siti online trovo definizioni come al solito in contraddizione fra loro.... segno che questi formalismi (in)utili a quanto pare non vengono ben digeriti nemmeno dai matematici esperti
Da alcune parti trovo che lo spazio euclideo necessita del prodotto scalare canonico (in base canonica)... da altre parti trovo che uno spazio euclideo necessità solo di prodotto scalare definito positivo... definizione che però ho trovato identica per spazio vettoriale metrico LOL...
PS: non che mi piacciano queste discussioni eh... ma è giusto perchè tra 2-3 giorni avrò l'esame di algebra lineare ed è meglio approfondire..
Girando su libri, e siti online trovo definizioni come al solito in contraddizione fra loro.... segno che questi formalismi (in)utili a quanto pare non vengono ben digeriti nemmeno dai matematici esperti
Da alcune parti trovo che lo spazio euclideo necessita del prodotto scalare canonico (in base canonica)... da altre parti trovo che uno spazio euclideo necessità solo di prodotto scalare definito positivo... definizione che però ho trovato identica per spazio vettoriale metrico LOL...
PS: non che mi piacciano queste discussioni eh... ma è giusto perchè tra 2-3 giorni avrò l'esame di algebra lineare ed è meglio approfondire..
Risposte
Uno spazio metrico e' semplicemente uno spazio topologico su cui e' definita una metrica che induce la topologia.
Uno spazio vettoriale metrico e' uno spazio vettoriale con una metrica (e quindi una topologia indotta dalla metrica, e generalmente si vuole che le operazioni dello spazio vettoriale siano continue rispetto a quella topologia).
Uno spazio euclideo e' uno spazio vettoriale $V$ metrico isomorfo (attraverso un'isometria) ad un $\mathbb{R}^n$: la metrica standard di $\mathbb{R}^n$ e' indotta dal prodotto scalare standard, quindi attraverso l'isomorfismo anche la metrica su $V$ sara' indotta da un qualche prodotto scalare (ma siccome l'isomorfismo non e' in generale canonico, non ha senso parlare di prodotto standard).
Comunque le definizioni non sono uniformi e in realta' quelle che ti ho dato ammetto di averle un po' date a senso. Probabilmente il tuo corso ha un testo di riferimento (o magari delle note del professore) in cui queste definizioni sono date nella forma in cui "il tuo professore le vuole sentir ripetere".
Uno spazio vettoriale metrico e' uno spazio vettoriale con una metrica (e quindi una topologia indotta dalla metrica, e generalmente si vuole che le operazioni dello spazio vettoriale siano continue rispetto a quella topologia).
Uno spazio euclideo e' uno spazio vettoriale $V$ metrico isomorfo (attraverso un'isometria) ad un $\mathbb{R}^n$: la metrica standard di $\mathbb{R}^n$ e' indotta dal prodotto scalare standard, quindi attraverso l'isomorfismo anche la metrica su $V$ sara' indotta da un qualche prodotto scalare (ma siccome l'isomorfismo non e' in generale canonico, non ha senso parlare di prodotto standard).
Comunque le definizioni non sono uniformi e in realta' quelle che ti ho dato ammetto di averle un po' date a senso. Probabilmente il tuo corso ha un testo di riferimento (o magari delle note del professore) in cui queste definizioni sono date nella forma in cui "il tuo professore le vuole sentir ripetere".
Grazie
Comunque il mio libro dice: spazio vettoriale metrico = spazio vettoriale con prodotto scalare definito positivo.
spazio euclideo = spazio vettoriale metrico (anche se forse lascia intendere con prodotto scalare canonico boh...)
Il guaio è che l'Abate già altre volte mi ha confuso le idee... Ad esempio con i cambi di riferimento se la matrice $A$ converte vettori in base $B'$ in vettori di base $B$ tipo $x=Ax'$, allora la matrice $A$ la chiama "matrice di cambiamento di base da base B a base B' !!!. Ed ero stato due ore a scervellarmi credendo di non aver capito niente xD
Comunque il mio libro dice: spazio vettoriale metrico = spazio vettoriale con prodotto scalare definito positivo.
spazio euclideo = spazio vettoriale metrico (anche se forse lascia intendere con prodotto scalare canonico boh...)
Il guaio è che l'Abate già altre volte mi ha confuso le idee... Ad esempio con i cambi di riferimento se la matrice $A$ converte vettori in base $B'$ in vettori di base $B$ tipo $x=Ax'$, allora la matrice $A$ la chiama "matrice di cambiamento di base da base B a base B' !!!. Ed ero stato due ore a scervellarmi credendo di non aver capito niente xD
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