Spazio metrico è di Hausdorff

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6 ott 2011, 23:31

Se X, spazio topologico, è metrico allora è di Hausdorff.
Per dimostrarlo si prende $epsilon$ tale che $epsilon<1/2d(p,q)$ dove $p,q\inX$ e la tesi segue dalla disuguaglianza triangolare (questo è quello che dice Wikipedia).
Ma in che modo si applica la disuguaglianza?

Risposte

Paolo902

7 ott 2011, 08:50

Hausdorff, Felix Hausdorff.

Per il resto, non è difficile: prova tu a scrivere due righe, la conclusione è immediata (anche alla luce del suggerimento di wikipedia).
Se non riesci a scriverlo direttamente con le formule, fatti un disegnino: prendi due punti, considera la loro distanza...

thedarkhero

7 ott 2011, 11:53

Graficamente è ovvio che se prendo come intorni due palle aperte di raggio $epsilon$ e centri rispettivamente $p$ e $q$ queste due palle non si intersecano...quello che non so è come scriverlo in formule.

vict85

7 ott 2011, 12:24

Supponi che le due palle aperte abbiano intersezione non nulla e prendi un punto $\displaystyle c$ nell'intersezione. Cosa puoi dire sulla distanza di $\displaystyle c$ dai due punti. Ora usa la disuguaglianza triangolare.

Paolo902

7 ott 2011, 12:25

Non capisco che cosa ci sia di difficile, soprattutto se - come scrivi - "graficamente è ovvio".

Insomma, prendi due punti $p!=q$ in $(X,d)$ metrico. Preso $epsilon=1/3d(p,q)$ (ma va bene qualunque roba più piccola di $1/2d(p,q)$) le palle aperte $B_epsilon(p)$ e $B_epsilon(q)$ sono aperte (lapalissiano) e disgiunte.

Perchè sono disgiunte? Supponi $x in B(p) cap B(q)$. Allora ovviamente $d(x,p)
Fine.