Spazio metrico

[egregio]

Ragazzi, come faccio a dire se uno spazio è metrico?
A lezione , noi abbiamo detto che uno spazio topologico si dice metrico se su di esso è assegnata una metrica; quindi, affinchè uno spazio sia metrico, non devo fare altro che trovare una funzione che verifichi le tre proprietà di metrica?

[Antimius]

Con spazio metrico si intende una coppia $(X,d)$, dove X è un insieme e $d$ è la funzione metrica, quindi la funzione dev'essere già specificata per parlare di sp. metrico.
Se vuoi invece sapere se uno spazio topologico è metrizzabile, certo, devi trovare una funzione che rispetti le proprietà della metrica e che induca proprio la topologia che stai considerando.
Ci sono anche altri metodi per capire se uno sp. topologico sia o no metrizzabile, senza scrivere una metrica esplicitamente, che può essere complicato. Ad esempio, uno spazio T4 a base numerabile è sempre metrizzabile. (Non vorrei sbagliare ma credo sia sufficiente che sia T3 e a base numerabile). Poi ovviamente, se uno spazio è prodotto topologico di spazi metrizzabili è metrizzabile; se è immerso in uno spazio metrizzabile, è metrizzabile.
Al contrario, se vuoi sapere se uno spazio non è metrizzabile, potresti tentare di negare una delle seguenti condizioni necessarie:
-Uno spazio metrizzabile è T4 (quindi T3, quindi di Hausdorff).
-Uno spazio metrizzabile e separabile è a base numerabile.
Quindi ad esempio uno spazio separabile che non è a base numerabile non è metrizzabile.
Per ora non me ne vengono in mente altre.

[j18eos]

Credo che in questa pagina di wikipedia.en tu possa trovare altre risposte sui criteri di metrizzabilità di uno spazio topologico!