Spazio duale e basi
Salve a tutti, 
1)vorrei chiedervi un piacere,e cioè correggere queste mie affermazioni che scrivo di seguito,dove ve ne fosse bisogno :
Tra le infinite basi di uno spazio duale associato a V,ce n è una che risulta particolarmente utile nella scrittura di alcune relazioni(quelle tensoriali),questa è la Base Duale,e viene indotta dalla generica base B di V,poichè per definizione essa è formata da n-funzionali lineari che mandano gli n-vettori della base B di V nello scalare coordinata n-esima di B.(è semplice dimostrare l'esistenza di tali funzionali lineari,e poi che essi formino una base del duale di V.)
2)Un tensore è un applicazione multilineare da (V e il suo Duale) che manda in R.Il prodotto tensoriale dei vettori di una base B di V e B' del Duale,offrono una base naturale per le spazio degli endomorfismi(tensori di ordine 2),che permette di scrivere le relazioni tensoriali in modo del tutto analogo le une alle altre,e,cosa ancora piu importante,in modo indipendente dalla base scelta poiche la relazione tra una base e il suo duale è sempre la stessa.
3)una base per gli endomorfismi definita come sopra,si puo pensare come una sorta di ''base canonica''per ogni endomorfismo?di modo che l endomorfismo sia determinato dai soli suoi coefficienti secondo questa base,e risulti dunque unico in qualunque sistema di coordinate e base scelta???
grazie a chiunque voglia darmi una mano!
1)vorrei chiedervi un piacere,e cioè correggere queste mie affermazioni che scrivo di seguito,dove ve ne fosse bisogno :
Tra le infinite basi di uno spazio duale associato a V,ce n è una che risulta particolarmente utile nella scrittura di alcune relazioni(quelle tensoriali),questa è la Base Duale,e viene indotta dalla generica base B di V,poichè per definizione essa è formata da n-funzionali lineari che mandano gli n-vettori della base B di V nello scalare coordinata n-esima di B.(è semplice dimostrare l'esistenza di tali funzionali lineari,e poi che essi formino una base del duale di V.)
2)Un tensore è un applicazione multilineare da (V e il suo Duale) che manda in R.Il prodotto tensoriale dei vettori di una base B di V e B' del Duale,offrono una base naturale per le spazio degli endomorfismi(tensori di ordine 2),che permette di scrivere le relazioni tensoriali in modo del tutto analogo le une alle altre,e,cosa ancora piu importante,in modo indipendente dalla base scelta poiche la relazione tra una base e il suo duale è sempre la stessa.
3)una base per gli endomorfismi definita come sopra,si puo pensare come una sorta di ''base canonica''per ogni endomorfismo?di modo che l endomorfismo sia determinato dai soli suoi coefficienti secondo questa base,e risulti dunque unico in qualunque sistema di coordinate e base scelta???
grazie a chiunque voglia darmi una mano!
Risposte
qualcuno mi aiuti!!!
a) Siano [tex]$\mathbb{V}$[/tex] un [tex]$\mathbb{K}$[/tex]-spazio vettoriale a dimensione finita, [tex]$\langle\cdot\mid\cdot\rangle$[/tex] un suo prodotto scalare e [tex]$\mathbb{V}^{*}$[/tex] il suo duale, definito l'isomorfismo canonico (1) [tex]$\phi^{*}:\underline v\in\mathbb{V}\to\underline v^{*}\in\mathbb{V}^{*}$[/tex] ove [tex]$\forall\underline v\in\mathbb{V},\,\underline v^{*}:\underline w\in\mathbb{V}\to\langle\underline v\mid\underline w\rangle\in\mathbb{K}$[/tex].
La base duale di una base [tex]$B$[/tex] di [tex]$\mathbb{V}$[/tex] è [tex]$\phi^{*}(B)=B^{*}$[/tex], ove [tex]$B^{*}$[/tex] è una base di [tex]$\mathbb{V}^{*}$[/tex].
Per il caso di dimensione infinita basta leggere in questa pagina di wikipedia!
§§§
(1) Lo si denomina così, altri lo chiamano isomorfismo standard; non gode di nessuna proprietà particolare, si dimostra essere un isomorfismo lineare e lo si denomina "canonico" o "standard", nulla più!
EDIT: Aggiunta una nota!
La base duale di una base [tex]$B$[/tex] di [tex]$\mathbb{V}$[/tex] è [tex]$\phi^{*}(B)=B^{*}$[/tex], ove [tex]$B^{*}$[/tex] è una base di [tex]$\mathbb{V}^{*}$[/tex].
Per il caso di dimensione infinita basta leggere in questa pagina di wikipedia!
§§§
(1) Lo si denomina così, altri lo chiamano isomorfismo standard; non gode di nessuna proprietà particolare, si dimostra essere un isomorfismo lineare e lo si denomina "canonico" o "standard", nulla più!
EDIT: Aggiunta una nota!
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