Spazio dimensione nulla

[mazzy89-votailprof]

ho il seguente spazio e devo calcolare la dimensione

$V=(((-1,2),(0,1)),((0,-1),(0,0)),((1,-1),(1,-1)),((-1,3),(-1,3))$

se mi scrivo la matrice ottenuta mettendo per riga i valori ottengo una matrice M avente rango pari a 4.considerando allora la formula $dimV=4-rank(M)=4-4=0$.ottengo che la dimensione è nulla.è una cosa possibile?

[Sk_Anonymous]

Quando costruisci la matrice di cui parli, più corretto metterli in colonna, lo scopo è risolvere il seguente sistema:

$\lambda_1((-1,2),(0,1))+\lambda_2((0,-1),(0,0))+\lambda_3((1,-1),(1,-1))+\lambda_4((-1,3),(-1,3))=((0,0),(0,0))$

Quindi, se il rango della matrice che hai costruito è $4$, vuol dire che il sistema ammette solo la soluzione nulla, cioè le $4$ matrici sono linearmente indipendenti. In definitiva, lo spazio vettoriale generato da quelle matrici ha dimensione $4$. Sono convinto che, se ti avessero dato $4$ vettori di $RR^4$, non avresti avuto difficoltà. In linea di principio, il procedimento è il medesimo.

[mazzy89-votailprof]

Ok ho capito il tuo ragionamento speculor.ma in questo modo la formula che ho scritti io (che ho preso da un libro) non ha senso.la strada mia e quella tua dovrebbero coincidere.invece io ottengo che il rango è si pari a 4 ma quando lo sottraggo alla dimensione del campo $RR^(2,2)$ ottengo zero

[Sk_Anonymous]

Non è proprio chiaro quale sia la formula di cui parli, propendo per la dimensione dello spazio generato dalle soluzioni di un sistema lineare. Appunto, $0$, perchè l'unica soluzione è quella banale, nei coefficienti di una generica combinazione lineare. Stai facendo un po' di confusione.

[Pazzuzu]

Attento mazzy89..penso che la formula che usi tu sia quella per calcolare la dimensione del nucleo di una matrice e altro non è che il teorema della dimensione(così pare visto che non l'hai riportata formalmente, mi pare di capire che in $4 - rak(M)$ il $4$ sia il numero di colonne della matrice) .
Allora se continuiamo a chiamare $M$ la matrice quadrata ottenuta mettendo per righe o per colonne le coordinate delle singole matrici rispetto alla base canonica di $M_(2,2)$ , allora il nucleo di $M$ ha dimensione $0$ perchè $M$ ha rango massimo..
$dim V = dim Img M = rak M = 4$

[mazzy89-votailprof]

be speculor guarda il mio prof mi ha dato questa definizione:

sia $AX=0$ un sistema lineare omogeno con $Ain K^(m,n)$
sia $V={X in K^n | AX=0}$ segue allora che $V$ è un sottospazio di $K^n$ e $dim_K V=n-rkA$

questa proposizione me l'ha data il prof così come l'ho scritta.

quella formula che dici te pazzuzu la conosco e la applico nel caso dello studio degli endomorfismi

[Sk_Anonymous]

Scusa ma, se ho $4$ equazioni in $4$ incognite linearmente indipendenti, rango incompleta uguale a $4$, quante soluzioni hai? Se poi il sistema è omogeneo, le soluzioni posso interpretarle come il nucleo di una trasformazione lineare, ma parliamo sempre della stessa cosa.

[Pazzuzu]

"mazzy89":be speculor guarda il mio prof mi ha dato questa definizione:

sia $AX=0$ un sistema lineare omogeno con $Ain K^(m,n)$
sia $V={X in K^n | AX=0}$ segue allora che $V$ è un sottospazio di $K^n$ e $dim_K V=n-rkA$

questa proposizione me l'ha data il prof così come l'ho scritta.

quella formula che dici te pazzuzu la conosco e la applico nel caso dello studio degli endomorfismi

mazzy89 stai confermando quello che ti ho scritto allora..Nella proposizione del tuo prof il sottospazio $V$ è proprio il nucleo di $A$!! Tu quando hai aperto questo topic hai detto che volevi conoscere la dimensione dello spazio generato da una matrice $M$ descritta qualche post più su..ebbene con la formula del tuo prof stavi calcolando la dimensione del nucleo di $M$,come ti avevo già scritto..
Il teorema della dimensione vale per qualsiasi applicazione lineare $T : V^n -> W^m$

[mazzy89-votailprof]

ah ok tutto chiaro.adesso ho capito.tutto compreso. grazie ragazzi!!!