Spazio di polinomi & applicazione lineare
Buongiorno a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio:
Trovare la matrice associata all'applicazione lineare T: R1[t]->R1[t] data da T(p(t))=2p(t)-p(t+1) rispetto alla base B={1,1+t}
Non riesco a capire come applicare T alla base data, qualcuno sarebbe tanto gentile da spiegarmi come fare??
Trovare la matrice associata all'applicazione lineare T: R1[t]->R1[t] data da T(p(t))=2p(t)-p(t+1) rispetto alla base B={1,1+t}
Non riesco a capire come applicare T alla base data, qualcuno sarebbe tanto gentile da spiegarmi come fare??
Risposte
Tu hai definito $T(p(t)) = 2p(t)-p(t+1) $: prendi gli elementi della base e applica $T$ ad essi, in questo modo:
$1 = 1 + 0*t => T(1) = 2*1 + 2*0*t - 1 - 0*(t+1) = 1 $ e quindi $T(1+t) =...$ prova a farlo tu.
Ti nascondo qua sotto come si fa
$1 = 1 + 0*t => T(1) = 2*1 + 2*0*t - 1 - 0*(t+1) = 1 $ e quindi $T(1+t) =...$ prova a farlo tu.
Ti nascondo qua sotto come si fa
Mitico!! 
quindi in pratica bastava considerare anche la base canonica C={1,t} giusto?
quindi in pratica bastava considerare anche la base canonica C={1,t} giusto?
No: il testo stesso dell'esercizio ti chiede di trovare la matrice associata a $T$, che chiameremo $A_T$, nella base $B={1,1+t}$. Per definizione, le colonne della matrice sono le coordinate, secondo la base dello spazio d'arrivo, dell'immagine dei vettori della base di partenza: prendo spunto dal tuo esercizio per farti un esempio.
La base di partenza è $B={b_1=1,\ b_2 = 1+t}$, e poniamo che quella di arrivo sia $C={e_1=1,\ e_2=t}$ e $T(p(t))=2p(t)-p(t+1)$.
Come abbiamo visto prima, $T(b_1)=1,\ T(b_2)=t$: le coordinate di $T(b_1)$ nella base $C$ saranno $alpha,\ beta: 1 = alphae_1+betae_2 => alpha =1,\ beta=0$. Quindi la prima colonna della matrice $A_T$ sarà $((1),(0))$.
Facciamo la stessa cosa per $T(b_2)$: le coordinate di $T(b_2)$ nella base $C$ saranno $gamma,\ delta: t = gammae_1+deltae_2 => gamma =0,\ delta=1$. Quindi la seconda colonna della matrice $A_T$ sarà $((0),(1))$.
Quindi la matrice $A_T$ scritta considerando $C$ come base di arrivo sarà $A_T=((1,0),(0,1))$.
Cosa cambia se cambi la base di arrivo? Cambieranno le coordinate: visto che $b_1=e_1$ le coordinate di $T(b_1)$ non cambieranno: quelle di $T(b_2)$ sì invece, in quanto $T(b_2) =-1*b_1 + 1*b_2$. Quindi la matrice $A_T$ scritta considerando $B$ come base di arrivo sarà $A_T=((1,-1),(0,1))$.
Spero di essere stato chiaro, scusa la prolissità.
La base di partenza è $B={b_1=1,\ b_2 = 1+t}$, e poniamo che quella di arrivo sia $C={e_1=1,\ e_2=t}$ e $T(p(t))=2p(t)-p(t+1)$.
Come abbiamo visto prima, $T(b_1)=1,\ T(b_2)=t$: le coordinate di $T(b_1)$ nella base $C$ saranno $alpha,\ beta: 1 = alphae_1+betae_2 => alpha =1,\ beta=0$. Quindi la prima colonna della matrice $A_T$ sarà $((1),(0))$.
Facciamo la stessa cosa per $T(b_2)$: le coordinate di $T(b_2)$ nella base $C$ saranno $gamma,\ delta: t = gammae_1+deltae_2 => gamma =0,\ delta=1$. Quindi la seconda colonna della matrice $A_T$ sarà $((0),(1))$.
Quindi la matrice $A_T$ scritta considerando $C$ come base di arrivo sarà $A_T=((1,0),(0,1))$.
Cosa cambia se cambi la base di arrivo? Cambieranno le coordinate: visto che $b_1=e_1$ le coordinate di $T(b_1)$ non cambieranno: quelle di $T(b_2)$ sì invece, in quanto $T(b_2) =-1*b_1 + 1*b_2$. Quindi la matrice $A_T$ scritta considerando $B$ come base di arrivo sarà $A_T=((1,-1),(0,1))$.
Spero di essere stato chiaro, scusa la prolissità.
Perfetto ho capito!! Grazie infinite!! 
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