Spazio di Hausdorff che non sia metrizzabile
So che ogni spazio metrico è $T_2$ e che non vale il viceversa, ma qual è un esempio di questo fenomeno?
Qui se ne parla: spazi-topologici-metrizzabili-t40165.html
Però non mi è chiaro l'esempio proposto (proprio come è costruito), qualcuno conosce qualche esempio più semplice?
Grazie mille
Qui se ne parla: spazi-topologici-metrizzabili-t40165.html
Però non mi è chiaro l'esempio proposto (proprio come è costruito), qualcuno conosce qualche esempio più semplice?
Grazie mille
Risposte
Si, è una domanda interessante. C'è un esempio concreto, dovuto a von Neumann, che appare in analisi funzionale:
https://math.stackexchange.com/a/888116/8157
https://math.stackexchange.com/a/888116/8157
Grazie per la risposta rapidissima, ciononostante temo di non capire bene l'esempio che mi linki, che cosa è $L^2(\mathbb{S}^1)$? Anche questa "weak topology" non ho idea di cosa sia. Non esistono esempi più semplici?
Altrimenti nessun problema, posso tranquillamente "archiviare" la domanda e rileggermi l'esempio fra qualche tempo.
L'esempio che fai te nel link che ho mandato mi sembra più semplice (è anche sul Sernesi 2 che dovrebbe essere un libro alla mia portata) ma non lo capisco comunque.
Altrimenti nessun problema, posso tranquillamente "archiviare" la domanda e rileggermi l'esempio fra qualche tempo.
L'esempio che fai te nel link che ho mandato mi sembra più semplice (è anche sul Sernesi 2 che dovrebbe essere un libro alla mia portata) ma non lo capisco comunque.
Certo che esistono esempi più semplici, volevo solo fare riferimento a questa conseguenza della non metrizzabilità in contesto analitico: il fallimento dell'argomento diagonale ("diagonal sequence trick"). Questa è una cosa "vera", con cui ti può capitare davvero di avere a che fare, mentre gli esempi ad-hoc possono essere artificiali, come quello del Sernesi.
Se non ti chiarisce le idee, archivia questo esempio, prima o poi ti tornerà in mente (come diceva un professore mio, la matematica è come i peperoni, che ti ritornano in bocca quando cerchi di dormire
).
Se non ti chiarisce le idee, archivia questo esempio, prima o poi ti tornerà in mente (come diceva un professore mio, la matematica è come i peperoni, che ti ritornano in bocca quando cerchi di dormire
).
Un esempio molto più facile da usare, rispetto al piano (ed alla retta) di Sorgenfrey.
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Sia \(\displaystyle X=\mathbb{R}^2\cup\{*\}\); su \(\displaystyle \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \) si consideri la topologia naturale di $\mathbb{R}^2$, e si definiscano le seguenti basi di intorni:
[list=a]
[*:3f8xpwwe] \(\displaystyle O=(0,0),\,V(O)_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^20\}\cup\{O\},\,\mathcal{U}(O)=\{V(O)_r\subsetneqq\mathbb{R}^2\}_{r\in\mathbb{R}_{>0}}\),[/*:m:3f8xpwwe]
[*:3f8xpwwe] \(\displaystyle V(*)_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^20}} \).[/*:m:3f8xpwwe][/list:o:3f8xpwwe]
Detta \(\displaystyle \mathcal{T}\) la topologia che resta così determinata, si ha che \(\displaystyle (X,\mathcal{T}) \) è uno spazio di Hausdorff; ma:
\[
\forall r\in\mathbb{R}_{>0},\,\overline{V(O)_r}\cap\overline{V(*)_r}=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2:0<|x|\leq r\}
\]
quindi \(\displaystyle O\) e \(\displaystyle *\) non sono separabili da intorni chiusi, ovvero \(\displaystyle (X,\mathcal{T}) \) non è uno spazio metrizzabile in quanto non è uno spazio regolare.
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Sia \(\displaystyle X=\mathbb{R}^2\cup\{*\}\); su \(\displaystyle \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \) si consideri la topologia naturale di $\mathbb{R}^2$, e si definiscano le seguenti basi di intorni:
[list=a]
[*:3f8xpwwe] \(\displaystyle O=(0,0),\,V(O)_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2
[*:3f8xpwwe] \(\displaystyle V(*)_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2
Detta \(\displaystyle \mathcal{T}\) la topologia che resta così determinata, si ha che \(\displaystyle (X,\mathcal{T}) \) è uno spazio di Hausdorff; ma:
\[
\forall r\in\mathbb{R}_{>0},\,\overline{V(O)_r}\cap\overline{V(*)_r}=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2:0<|x|\leq r\}
\]
quindi \(\displaystyle O\) e \(\displaystyle *\) non sono separabili da intorni chiusi, ovvero \(\displaystyle (X,\mathcal{T}) \) non è uno spazio metrizzabile in quanto non è uno spazio regolare.
Scusate se ci ho messo un po' a rispondere, ho altri esami imminenti, non immaginavo tutto questo interesse.
Grazie mille a tutti per le risposte (che purtroppo non ho approfondito quando avrei dovuto).
Grazie mille a tutti per le risposte (che purtroppo non ho approfondito quando avrei dovuto).
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