Spazio delle righe di una matrice
Ragazzi, ho bisogno di voi. Sto avendo non pochi problemi con questo esercizio.
'' Data la matrice A, determinare una base e la dimensione dello spazio delle righe della matrice. ''
$A = ((1, 2, -1, 0),(2, 1, 0, 2),(2, 7, -4, -2))$
Lo spazio delle righe di A è un sottospazio di $(RR)^n$ generato dalle righe della matrice.
Ora, ho pensato di vedere le righe della matrice come tre vettori e calcolare se sono una base:
$v_1 = (1, 2, -1, 0)$
$v_2 = (2, 1, 0, 2)$
$v_3 = (2, 7, -4, -2)$
Se sono una base, devono essere linearmente indipendenti e devono essere un insieme di generatori.
Ecco, andando a studiare il rango di una matrice determinata da questi 3 vettori, mi trovo con $r(a) = 2$ e quindi non ha solo la soluzione nulla. Ergo non è un linearmente indipendente, e quindi non è una base.
So di aver sbagliato perchè mi chiede di determinare una base dello spazio delle righe, ciò vuol dire che non si discute che esista!
Come posso fare? Vi ringrazio per le future risposte.
'' Data la matrice A, determinare una base e la dimensione dello spazio delle righe della matrice. ''
$A = ((1, 2, -1, 0),(2, 1, 0, 2),(2, 7, -4, -2))$
Lo spazio delle righe di A è un sottospazio di $(RR)^n$ generato dalle righe della matrice.
Ora, ho pensato di vedere le righe della matrice come tre vettori e calcolare se sono una base:
$v_1 = (1, 2, -1, 0)$
$v_2 = (2, 1, 0, 2)$
$v_3 = (2, 7, -4, -2)$
Se sono una base, devono essere linearmente indipendenti e devono essere un insieme di generatori.
Ecco, andando a studiare il rango di una matrice determinata da questi 3 vettori, mi trovo con $r(a) = 2$ e quindi non ha solo la soluzione nulla. Ergo non è un linearmente indipendente, e quindi non è una base.
So di aver sbagliato perchè mi chiede di determinare una base dello spazio delle righe, ciò vuol dire che non si discute che esista!
Come posso fare? Vi ringrazio per le future risposte.
Risposte
Una volta che hai visto che il rango è 2 (ho controllato) puoi prendere le prime due righe dato che sono linearmente indipendenti (si vede facilmente). Quella è una base. Riguardo al rango comunque puoi semplicemente notare che \((2,7,-4,-2) = 4(1,2,-1,0) - (2,1,0,2)\).
Innanzitutto son contento perchè vuol dire che non ho sbagliato 
Quindi nel caso in cui non tutti i vettori sono linearmente indipendenti, solo quelli che lo sono costituiscono una base?
Ovvero, se su 4 righe, 2 sono nulle, la base è di dimensione 2? Giusto?
Quindi nel caso in cui non tutti i vettori sono linearmente indipendenti, solo quelli che lo sono costituiscono una base?
Ovvero, se su 4 righe, 2 sono nulle, la base è di dimensione 2? Giusto?
"Mr.Mazzarr":
Quindi nel caso in cui non tutti i vettori sono linearmente indipendenti, solo quelli che lo sono costituiscono una base?
Certo. Un set di vettori di vettori linearmente indipendenti e' una base per un qualche spazio vettoriale quando e' anche un set di generatori. Ora, se prendi \(65\) vettori liberi e come spazio vettoriale scegli
\[\operatorname{span}(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{65})\]
una base la conosci gia' di diritto!: e' proprio il set con cui hai generato lo spazio.
"Mr.Mazzarr":
Ovvero, se su 4 righe, 2 sono nulle, la base è di dimensione 2? Giusto?
In generale no -le rimanenti due righe non nulle sono linearmente indipendenti? Di certo, lo spazio generato dalle quattro righe non ha dimensione superiore a \(2\).
Credo d'aver capito..
E, sempre riguardo il discorso sulle basi, se ho la chiusura lineare:
$L(vec v_1, vec v_2, vec v_3) = {(a, b, c, d) : c = 2a - b, d = 3b + a}$
Come calcolo una base e la rispettiva dimensione?
Io avevo pensato di dare valori '' random '' $a$, $b$, $c$ e $d$ e poi studiare se i vettori risultanti sono linearmente dipendenti o indipendenti:
$f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 2, 1)$
...
Ma non so se è esatto come ragionamento! Anche perchè per calcolare una base sono solito impostare due sistemi: uno per controllare se sono lin. indipendenti ed un altro per controllare se sono insiemi di generatori.
E, sempre riguardo il discorso sulle basi, se ho la chiusura lineare:
$L(vec v_1, vec v_2, vec v_3) = {(a, b, c, d) : c = 2a - b, d = 3b + a}$
Come calcolo una base e la rispettiva dimensione?
Io avevo pensato di dare valori '' random '' $a$, $b$, $c$ e $d$ e poi studiare se i vettori risultanti sono linearmente dipendenti o indipendenti:
$f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 2, 1)$
...
Ma non so se è esatto come ragionamento! Anche perchè per calcolare una base sono solito impostare due sistemi: uno per controllare se sono lin. indipendenti ed un altro per controllare se sono insiemi di generatori.
"Mr.Mazzarr":
E, sempre riguardo il discorso sulle basi, se ho la chiusura lineare:
$L(vec v_1, vec v_2, vec v_3) = {(a, b, c, d) : c = 2a - b, d = 3b + a}$
Come calcolo una base e la rispettiva dimensione?
Davvero non sai nient'altro su \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \)? Al momento non mi viene in mente nulla ...se non mostrare che
\[ \left| \begin{matrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{matrix} \right| \neq 0 \]
ma cosi' non te la cavi.
Ho i '' valori '' di quei tre vettori!
E' un esercizio consequenziale, in quanto la prima domanda era di calcolare appunto $L ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$ e la seconda domanda era di calcolare una base e la dimensione di $L ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$.
E' un esercizio consequenziale, in quanto la prima domanda era di calcolare appunto $L ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$ e la seconda domanda era di calcolare una base e la dimensione di $L ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$.
Mmm, scusa ma faccio fatica a capire. Ti sono stati dati tre vettori di \( \mathbb{K}^4 \); hai trovato con qualche stregoneria che tutti i vettori che sono combinazione lineare di quei tre sono della forma
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} ( \mathbf{v} )_1 \\ ( \mathbf{v} )_2 \\ 2 ( \mathbf{v} )_1 - ( \mathbf{v} )_2 \\ ( \mathbf{v} )_1 + 3 ( \mathbf{v} )_2 \end{bmatrix} \]
Allora forse si puo' osservare che con
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\, , \; \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \]
riesci ad ottenere qualsiasi altro vettore di \( \mathcal{L}( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 ) \).
Oltretutto il set \( \{ \mathbf{v}, \mathbf{w} \} \) e' libero --il che ne fa una base di \( \mathcal{L} \).
Che ne dici?
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} ( \mathbf{v} )_1 \\ ( \mathbf{v} )_2 \\ 2 ( \mathbf{v} )_1 - ( \mathbf{v} )_2 \\ ( \mathbf{v} )_1 + 3 ( \mathbf{v} )_2 \end{bmatrix} \]
Allora forse si puo' osservare che con
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\, , \; \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \]
riesci ad ottenere qualsiasi altro vettore di \( \mathcal{L}( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 ) \).
Oltretutto il set \( \{ \mathbf{v}, \mathbf{w} \} \) e' libero --il che ne fa una base di \( \mathcal{L} \).
Che ne dici?
Aspetta, ora ti scrivo esattamente il testo:
'' Dati i vettori $vec v_1$, $vec v_2$ e $vec v_3$, calcolare la chiusura lineare $Span ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$ e poi determinare una base e una dimensione di $Span ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$.
$vec v_1 = (1, 2, -3, 1)$
$vec v_2 = (3, 7, 1, -2)$
$vec v_3 = (1, 3, 7, -4)$
Quindi il primo passo è calcolare la chiusura lineare. Affinchè quei tre vettori siano una chiusura lineare, deve avere soluzione questa equazione vettoriale:
$x * [(1),(2),(-3),(1)] + y * [(3),(7),(1),(-2)] + x * [(1),(3),(7),(-4)] = [(a),(b),(c),(d)]$
'' Dati i vettori $vec v_1$, $vec v_2$ e $vec v_3$, calcolare la chiusura lineare $Span ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$ e poi determinare una base e una dimensione di $Span ( vec v_1, vec v_2, vec v_3 )$.
$vec v_1 = (1, 2, -3, 1)$
$vec v_2 = (3, 7, 1, -2)$
$vec v_3 = (1, 3, 7, -4)$
Quindi il primo passo è calcolare la chiusura lineare. Affinchè quei tre vettori siano una chiusura lineare, deve avere soluzione questa equazione vettoriale:
$x * [(1),(2),(-3),(1)] + y * [(3),(7),(1),(-2)] + x * [(1),(3),(7),(-4)] = [(a),(b),(c),(d)]$
Mi spiace Mr. che non sia intervenuto qualcuno di piu' preparato ancora. Comunque... ho dovuto cercare su Elgoog cosa fosse la chiusura lineare: intendi anche tu l'insieme delle combinazioni lineari di \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \), no?
A questo punto non capisco cosa ci sia da calcolare:
\[ \mathcal{L}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) \equiv \operatorname{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) \equiv \{ \mathbf{v} : \mathbf{v} = \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 + \gamma \mathbf{v}_3 \in V, \, \forall \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \} \]
D'altro canto per trovarne una base ti basta prendere un sottoinsieme di \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) libero --per esempio \( \{ \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) lo e' (usando la `procedura' di Kronecker).
A questo punto non capisco cosa ci sia da calcolare:
\[ \mathcal{L}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) \equiv \operatorname{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) \equiv \{ \mathbf{v} : \mathbf{v} = \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 + \gamma \mathbf{v}_3 \in V, \, \forall \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \} \]
D'altro canto per trovarne una base ti basta prendere un sottoinsieme di \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) libero --per esempio \( \{ \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) lo e' (usando la `procedura' di Kronecker).
Per chiusura lineare io intendo un sottoinsieme di V formato da vettori di V che sono combinazione lineare di un insieme di vettori X appartenente sempre a V. Con V che è uno spazio vettoriale.
"Mr.Mazzarr":
Per chiusura lineare io intendo un sottoinsieme di V formato da vettori di V che sono combinazione lineare di un insieme di vettori X appartenente sempre a V. Con V che è uno spazio vettoriale.
Si, ok. Pero' non capisco comunque cosa dovresti calcolare. Com'e' fatto il generico vettore di \( \operatorname{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) \)? A me verrebbe soltanto da dire che sara' un oggetto del tipo
\[ \begin{bmatrix} \alpha + 3\beta + \gamma \\ \vdots \\ \alpha -2 \beta -4 \gamma \end{bmatrix} \]
Non saprei.
Anche perche' quando dici
"Mr.Mazzarr":
Affinchè quei tre vettori siano una chiusura lineare, deve avere soluzione questa equazione vettoriale: \[ \ldots \]
(a parte che, se ho capito quello che dici, un set di non vettori non e' una chiusura lineare; al piu' ha senso parlare di chiusura lineare di un set), e' chiaro che quel sistema e' sempre risolubile --grazie!, scegli tutto tu.
Davvero, non saprei cosa consigliarti ...
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