Spazio delle matrici esercizio
Salve ho un dubbio sulla risoluzione del seguente problema:
data la matrice $ N=| ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ trovare una base del sottospazio E di Mat(2x2) definito come segue
$ E= A in Mat(2*2) : AN=NA $
io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I $
Poi mi chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio di E di Mat(3x3) formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla , e qui non sono riuscito a tirare fuori un ragionamento logico qualcuno può darmi una mano a ragionare?
data la matrice $ N=| ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ trovare una base del sottospazio E di Mat(2x2) definito come segue
$ E= A in Mat(2*2) : AN=NA $
io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I $
Poi mi chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio di E di Mat(3x3) formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla , e qui non sono riuscito a tirare fuori un ragionamento logico qualcuno può darmi una mano a ragionare?
Risposte
ho trovato l'equazione del sottospazio in questione (credo)
x+y+w=0--> quindi una base se non sbaglio dovrebbe essere $ | ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) | $
x+y+w=0--> quindi una base se non sbaglio dovrebbe essere $ | ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) | $
Usa la condizione.
Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici
Otterrai $ A=( ( a , 2d-a ),( 0 , 2d ) ) $
Per comodità sostituiamo $2d=b$ e abbiamo $ A=( ( a , b-a ),( 0 , b ) ) =a( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) )+b( ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) )$
Per le matrici simmetriche scrivi $ S=( ( a , c , d ),( c , b , e ),( d , e , -a-b ) ) $ e poi decomponi come sopra.
E' naturale che in $Mat(3x3)$ la dimensione sia 5, visto che lo spazio delle matrici simmetriche generale ha dimensione 6 e, in questo caso, hanno un grado di libertà in meno dovuto al vincolo sulla traccia.
Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici
Otterrai $ A=( ( a , 2d-a ),( 0 , 2d ) ) $
Per comodità sostituiamo $2d=b$ e abbiamo $ A=( ( a , b-a ),( 0 , b ) ) =a( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) )+b( ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) )$
Per le matrici simmetriche scrivi $ S=( ( a , c , d ),( c , b , e ),( d , e , -a-b ) ) $ e poi decomponi come sopra.
E' naturale che in $Mat(3x3)$ la dimensione sia 5, visto che lo spazio delle matrici simmetriche generale ha dimensione 6 e, in questo caso, hanno un grado di libertà in meno dovuto al vincolo sulla traccia.
grazie mille dell'aiuto , però non mi è molto chiara la matrice S , cioè come faccio ad ottenerla?
Ho corretto la S perchè avevo scritto b al posto di d.
La ottieni scrivendola, no?
Una matrice simmetrica generica ha elementi diversi lungo la diagonale ed elementi uguali a coppie al di fuori della diagonale. Scrivila mettendoci le lettere che vuoi.
Poi applica anche il vincolo sulla traccia per cui la somma degli elementi sulla diagonale dev'essere uguale a zero e metti uno dei valori in funzione degli altri due.
Ti verrà fuori una matrice analoga.
La ottieni scrivendola, no?
Una matrice simmetrica generica ha elementi diversi lungo la diagonale ed elementi uguali a coppie al di fuori della diagonale. Scrivila mettendoci le lettere che vuoi.
Poi applica anche il vincolo sulla traccia per cui la somma degli elementi sulla diagonale dev'essere uguale a zero e metti uno dei valori in funzione degli altri due.
Ti verrà fuori una matrice analoga.
ah okok chiaro, un ultima domanda per quanto riguarda la matrice AN=NA se volessi seguire il ragionamento del suo collega "arnett" è giusto il procedimento che applico?
chiamo $ A=| ( x , y ),( z , w ) | $ e facendo quindi AN ottengo--> $ | ( x , y ),(z ,z+2w ) | $ , faccio lo stesso con NA e ottengo $ | ( x+z , y+w),(2z ,2w ) | $ quindi portando AN-NA=0 ottengo un sistema lineare con eqauzioni z=0,x+y-w=0 da cui ottengo la seguente base --> $ | ( 1 , 0),( 0,1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) | $ non so il ragionamento cosi puo' funzionare
chiamo $ A=| ( x , y ),( z , w ) | $ e facendo quindi AN ottengo--> $ | ( x , y ),(z ,z+2w ) | $ , faccio lo stesso con NA e ottengo $ | ( x+z , y+w),(2z ,2w ) | $ quindi portando AN-NA=0 ottengo un sistema lineare con eqauzioni z=0,x+y-w=0 da cui ottengo la seguente base --> $ | ( 1 , 0),( 0,1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) | $ non so il ragionamento cosi puo' funzionare
Però devi leggere. Ho scritto:
Ti faccio notare che dal sistema avrai ottenuto immediatamente che $z=0$
Quindi un'equazione diventa $x=x$ e un'altra $w=w$
Quindi devi ricavare y in funzione di x e w, pensaci.
Che senso ha parametrizzare così?
$ { ( x=x ),( w=x+y ),( z=0 ),( w=w ):} $
Le variabili libere sono x e w, non la y
"Bokonon":
Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici
Ti faccio notare che dal sistema avrai ottenuto immediatamente che $z=0$
Quindi un'equazione diventa $x=x$ e un'altra $w=w$
Quindi devi ricavare y in funzione di x e w, pensaci.
Che senso ha parametrizzare così?
$ { ( x=x ),( w=x+y ),( z=0 ),( w=w ):} $
Le variabili libere sono x e w, non la y
"arnett":
Questo non lo ho capito, forse c'è qualche errore di battitura.
$ ( ( x , y ),( z , w ) ) ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) =( ( x , x+2y ),( z , z+2w ) ) $
$ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) )( ( x , y ),( z , w ) ) =( ( x+z , y+w ),( 2z , 2w ) ) $
$ { ( x=x+z ),( x+2y=y+w ),( z=2z rArr z=0 ),( z+2w=2w ):} rArr { ( x=x),( x+y=w ),( z=0 ),( w=w ):}$
E a questo punto invece di ricavare la y perchè hai una parametrizzazione già bella e pronta, tu vai a complicarti la vita?
Va oltre il mio comprendonio
Verissimo!
Ma abbiamo tutti e tre risolto il medesimo sistema e giuro che, al secondo passaggio, non mi sono nemmeno posto il problema di scegliere una parametrizzazione diversa da quella sorgeva naturale!
E' affascinante come lavora l'inconscio
Per esempio, se vi chiedessi perchè avete fatto quel passaggio? cosa direste?
La mia ipotesi è che ordinate le componenti per avere sempre le ultime in funzione di quelle precedenti.
Ci sono andato lontano?
Ma abbiamo tutti e tre risolto il medesimo sistema e giuro che, al secondo passaggio, non mi sono nemmeno posto il problema di scegliere una parametrizzazione diversa da quella sorgeva naturale!
E' affascinante come lavora l'inconscio
Per esempio, se vi chiedessi perchè avete fatto quel passaggio? cosa direste?
La mia ipotesi è che ordinate le componenti per avere sempre le ultime in funzione di quelle precedenti.
Ci sono andato lontano?
@arnett
[ot]Interessante.
Io invece non voglio che la prima componente sia negativa..anche se questo significasse che tutte le altro lo siano, LOL[/ot]
[ot]Interessante.
Io invece non voglio che la prima componente sia negativa..anche se questo significasse che tutte le altro lo siano, LOL[/ot]
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