Spazio dei polinomi

[cri981]

nello spazio$ R_(<=2)[x]$ dei polinomi di grado al più 2, si consideri il sottospazio

$W={p(x)in R_<=2[X]: p prime(0)=p prime(1)=p prime prime(0)-p prime(1)=0} $
e sia Z tale che$ R_(<=2)=W o+ Z$
A)dimZ=2
B)dimZ=1
C)dimZ=0
D)dimW=0
E)nessuna delle altre risposte

per risolvere l'esercizio pensavo di considerare
$p(x)= ax^2+bx+c$
$p prime(x)=2ax+b$
$p prime prime (x)= 2a $

come devo andare avanti?
grazie!

[Cantor99]

Beh porrei le condizioni che $W$ richiede
- $p'(0)=b=0$
- $p'(1)=2a=0$
- $p''(0)=p'(1) <=> 2a=b$
Quindi $W={cx : c\in\RR}$

E dunque $dim(W)=1$ e $dim(Z)=3-1=2$

(Spero di non aver fatto errori di conto)

[cri981]

"Cantor99":Beh porrei le condizioni che $ W $ richiede
- $ p'(0)=b=0 $
- $ p'(1)=2a=0 $
- $ p''(0)=p'(1) <=> 2a=b $
Quindi $ W={cx : c\in\RR} $

E dunque $ dim(W)=1 $ e $ dim(Z)=3-1=2 $

(Spero di non aver fatto errori di conto)

ciao,Cantor99
quando poni le condizioni di W ed ottieni che
$ pprime (1)=2a=0 $
andando ad effettuare la sostituzione con 1 all'interno della derivata prima di p non dovrei ottenere che:

$ p prime(1)=2ax+b$

$p prime(1)=2a(1)+b=2a+b$

$pprime (1)=2a+b=0 $

come fai a calcolare la dim(W) che viene uguale a 1? e la dim(Z) in cui hai 3-1?

Grazie!

[Magma1]

Nella riga sopra c'è anche scritto che $b=0$

[cri981]

"Magma":Nella riga sopra c'è anche scritto che $b=0$

giusto hai ragione

[cri981]

come faccio a calcolare la dim(w) che viene uguale a 1? è la dim(Z) in cui hai 3-1?

[Magma1]

$dim(W):=|mathcalB|$, dove $mathcalB$ è una base di $W$.

[cri981]

puoi farmi un esempio?
come ottengo la dim(Z)?

Grazie!

[Magma1]

Hai trovato i vettori che generano $W$? Se sono l.i. allora sono una base, altrimenti togli quelli che sono C. L. degli altri.
Una volta trovata la base, conta quanti vettori ci sono: questa è la dimensione.

[cri981]

"Magma":Hai trovato i vettori che generano $ W $? Se sono l.i. allora sono una base, altrimenti togli quelli che sono C. L. degli altri.
Una volta trovata la base, conta quanti vettori ci sono: questa è la dimensione.

ciao Magma,
non so come fare a trovare i vettori che generano W da dove le ricavo?
sulla definizione di base ci sono

grazie per la risposta
scusami ma sono duro di testa

[Cantor99]

Ciao cri98 e scusami se non ti ho risposto prima

Visto che $W={cx :c\in \RR}$, ti trovi che ${x}$ (dove $x$ è inteso come polinomio) è un sistema di generatori? Infatti qualunque polinomio di $W$ lo ottieni come multiplo di $x$. Ora affinché sia una base deve essere l.i. Lo è? Sì perché
$cx=0 <=> c=0$ (dove con $0$ intendo il polinomio nullo)

Quindi $B={x}$ è una base di $W$ e $dim(W)=1$.
Ti è chiaro perché $Z$ ha dimensione 2?

[cri981]

"Cantor99":Ciao cri98 e scusami se non ti ho risposto prima

Visto che $ W={cx :c\in \RR} $, ti trovi che $ {x} $ (dove $ x $ è inteso come polinomio) è un sistema di generatori? Infatti qualunque polinomio di $ W $ lo ottieni come multiplo di $ x $. Ora affinché sia una base deve essere l.i. Lo è? Sì perché
$ cx=0 <=> c=0 $ (dove con $ 0 $ intendo il polinomio nullo)

Quindi $ B={x} $ è una base di $ W $ e $ dim(W)=1 $.
Ti è chiaro perché $ Z $ ha dimensione 2?

ciao, Cantor99
grazie per la risposta!
la dimensione di Z la ottengo con la seguente formula?
dim(z)=3-dim(W)

l'unica cosa che non mi è chiara e il 3 da dove lo ricavi e la dim di qualcosa ? una definizione?
Grazie!

[Magma1]

"cri98":
l'unica cosa che non mi è chiara e il 3 da dove lo ricavi e la dim di qualcosa ?

$dim(RR[x]_(<=2))=3$

[cri981]

ciao Magma
quindi il 3 fa riferimento alla dim (R[x]≤2)
il mio dubbio però persiste perché non ho capito come ricavarlo da tutti i conti che abbiamo effettuato.
quando trovo un esercizio simile con quale conto riesco a determinare la dim (R[x]≤2) ?

Grazie!

[Magma1]

$RR[x]_(<=n)$ è lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più $n$:

$a_nx^n+a_(n-1)n^(n-1)+...+a_2x^2+a_1x+a_o, qquad a_i in RR$

una base, e.g. quella canonica, è $mathcalE={1,x,x^2,..., x^n}$ pertanto $dim(RR[x]_(<=n))=n+1$.

[cri981]

perfetto adesso ci sono Grazie!