Spazio dei polinomi

[Alfiere90]

Ciao ragazzi, ho bisogno di una mano per questo esercizio :

Si provi che il sottoinsieme : $S= { 2-x , 1+x, x^2 +x^3, 1-x-x^4. x^3}$

dello spazio vettoriale $RR_4[x]$ dei polinomi dei grado al più 4 è linearmente indipendente ed è un sistema di geneatori per lo spazio stesso. Si scriva il polinomio $ 1+x^2$ come combinazione lineare dei polinomi di $S$.
Infine, descrivere il sottospazio vettoriale generato dai vettori $2-x$ e $1+x$

E' la prima volta che ne svolgo uno di questo tipo, quindi non so da dove cominciare; magari anche un piccolo input non sarebbe male

[killing_buddha]

La base canonica di \(\mathbb R[x]_{\le 4}\) è fatta da \( \{ 1,x,x^2, x^3, x^4 \} \), sicché i tuoi vettori sono
\[
\begin{pmatrix}
1\\-1\\0\\0\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\1\\0\\0\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\1\\1\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\-1\\0\\0\\-1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1\\0
\end{pmatrix}
\]
adesso è un conto di algebra lineare come quelli che hai certamente già fatto (qual è il rango della matrice $A$ le cui colonne sono questi vettori? che soluzioni $Z=(z_0,z_1,z_2,z_3,z_4)$ ha il sistema $AZ=V$ dove $V=(1,0,1,0,0)$?)

[cooper1]

ti chiede quindi di provare che S è una base di $RR_(<=4)$. per farlo puoi per esempio usare l'isomorfismo canonico tra $RR_(<=4)$ e $RR^(n+1)=RR^5$ che al polinomio $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ associa per esempio il vettore $(a,b,c,d,e)$
a questo punto riscrivi S in termini di $RR^5$ e poi poni i vettori come colonne di una matrice e ne studi il rango se è massimo allora hai dimostrato che è un sistema di generatori e che è l.i.

"Alfiere90":i scriva il polinomio 1+x2 come combinazione lineare dei polinomi di S

in pratica mi sembra ti stia chiedendo le coordinate di quel vettore rispetto alla base S. per farlo puoi per esempio risolvere il sistema $xv_1+yv_2+zv_3+tv_4+wv_5=v$ dove $v_i$ sono i vettori della base mentre v è il vettore che ti fornisce il testo.

"Alfiere90":descrivere il sottospazio vettoriale generato dai vettori 2−x e 1+x

puoi per esempio verificare se quei vettori che lo generano sono anche l.i. nel qual caso sono una base del sottospazio. ad ogni modo una volta verificata la dipendenza o meno dei due hai la base e quindi la dimensione del sottospazio.

ti consiglio però di studiare un po' la teoria e cercare esercizi simili con la funzione cerca qui sul forum dove ne sono stati risolti veramente tanti!

[Alfiere90]

Innanzitutto ringrazio entrambi per le risposte, comunque ho ancora qualche dubbio :

"killing_buddha":La base canonica di \(\mathbb R[x]_{\le 4}\) è fatta da \( \{ 1,x,x^2, x^3, x^4 \} \), sicché i tuoi vettori sono
\[
\begin{pmatrix}
1\\-1\\0\\0\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\1\\0\\0\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\1\\1\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1\\-1\\0\\0\\-1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1\\0
\end{pmatrix}
\]
adesso è un conto di algebra lineare come quelli che hai certamente già fatto (qual è il rango della matrice $A$ le cui colonne sono questi vettori? che soluzioni $Z=(z_0,z_1,z_2,z_3,z_4)$ ha il sistema $AZ=V$ dove $V=(1,0,1,0,0)$?)

Diciamo, se ho capito bene, che quel sottospazio può essere riscritto come quei vettori colonna che hai elencato giusto?

Ora posso essenzialmente risolverlo come un semplice semplice esercizio considerando i vettori :

${(1,-1,0,0,0) , (1,1,0,0,0) ,(0,0,1,1,0),(1,-1,0,0,-1),(0,0,0,1,0)}$ oppure lo risolvo disponendoli a matrice e calcolarmi rango etc..?

$A$ =$((1,1,0,1,0) ,(-1,1,0,-1,0),(0,0,1,0,0),(0,0,1,0,1),(0,0,0,-1,0))$

[cooper1]

"Alfiere90":Ora posso essenzialmente risolverlo come un semplice semplice esercizio considerando i vettori :

se intendi sfruttando la definizione di indipendenza lineare e di sistema di generatori la risposta è si. sono due metodi equivalenti. se intendevi altro non ho capito cosa intendessi.
volendo, dato che la matrice è quadrata, puoi anche risolvere il problema calcolando il determinante della matrice.

[Alfiere90]

Sì si, intendevo proprio quello! Credo sia più comodo così