Spazio connesso

[d4ni1]

Una delle cose che più mi risulta difficile comprendere nella topologia è il fatto che le caratteristiche di uno spazio dipendano dalla topologia scelta..insomma, non è questo concetto banale!

Venendo a noi la domanda è questa: si può prendere uno spazio che per una topologia t è connesso e trovarne una v per la quale non lo è?
Per esempio io ho in mente questo caso:
Sia $ S=[0,1] $ spazio topologico con topologia $ cc(I) $ :
$ cc(I)={O/ ,[0,1/2),[1/2,1],S } $

Ora mi chiedo, i due aperti propri non sono due aperti che "falsano" la definizione di connessione?
Ovvero non sono due aperti propri disgiunti? Eppure mi pare che la topologia creata non abbia problemi..

[Pappappero1]

"d4ni":-cut-

$ cc(I)={O/ ,[0,1/2),[1/2,1],S } $

Ora mi chiedo, i due aperti propri non sono due aperti che "falsano" la definizione di connessione?
Ovvero non sono due aperti propri disgiunti? Eppure mi pare che la topologia creata non abbia problemi..

I due aperti propri sono disgiunti e la loro unione è tutto lo spazio. Dunque sì, con questa topologia l'intervallo $[0,1]$ è sconnesso.

Le cosiddette proprietà topologiche (come appunto la connessione) dipendono proprio dalla topologia che viene data sullo spazio. Cambiando topologia potrebbero cambiare tali proprietà.

Proprio nel caso della connessione su uno stesso spazio puoi sempre definire due topologie distinte in cui lo spazio è una volta connesso e una volta sconnesso (a patto che abbia almeno due punti). Prova a pensare come si può fare!

[Paolo902]

Ciao, benvenuto tra noi

"d4ni":Una delle cose che più mi risulta difficile comprendere nella topologia è il fatto che le caratteristiche di uno spazio dipendano dalla topologia scelta..insomma, non è questo concetto banale!

Be', ma se ci pensi non è poi così strano: che cosa vuol dire "in soldoni" dare una topologia? Vuol dire specificare un concetto di "vicinanza", dire quando due punti di uno spazio sono vicini (o non sono vicini). Quindi è naturale che le cose cambino a seconda del concetto di "vicinanza" che usi, non ti pare?

""d4ni":
Venendo a noi la domanda è questa: si può prendere uno spazio che per una topologia t è connesso e trovarne una v per la quale non lo è?
Per esempio io ho in mente questo caso:
Sia $ S=[0,1] $ spazio topologico con topologia $ cc(I) $ :
$ cc(I)={O/ ,[0,1/2),[1/2,1],S } $

Ora mi chiedo, i due aperti propri non sono due aperti che "falsano" la definizione di connessione?
Ovvero non sono due aperti propri disgiunti? Eppure mi pare che la topologia creata non abbia problemi..

Direi che hai fatto bene. Rispetto alla topologia standard su $RR$, $S$ risulta un sottospazio connesso.
Rispetto alla topologia che hai inventato tu, invece, $S$ è unione disgiunta di due aperti propri, quindi è sconnesso.
Equivalentemente, potevi vedere che $S$ con la topologia nuova è sconnesso passando dalla famiglia dei chiusi: se scrivi esplicitamente i chiusi trovi che c'è almeno un insieme non banale aperto e chiuso.

Più chiaro ora?

[d4ni1]

certo, ma infatti il concetto mi era chiaro, però avevo paura di aver fatto una considerazione che non stava nè in cielo nè in terra, ora che avete confermato mi torna tutto..

Per quanto riguarda la domanda di Pappappero beh, con la topologia banale si è sempre connessi, per disconnettersi dovrei generalizzare quello che ho fatto io, ma non so ancora bene come..

[mistake89]

Puoi pensare alla topologia in cui ogni insieme è aperto, ad esempio