..spazio affine...

[Pozzetto1]

Buongiorno a tutti.
Il problema è il seguente:

Ho un sistema che ammette soluzione solo per un certo $\lambda$ ovvero per $\lambda=1$.

Il testo dell'esercizio mi chiede:Trovare lo spazio vettoriale $V_1$ parallelo allo spazio affine delle soluzioni del sistema e lo spazio vettoriale supplementare a $V_1$ in $RR^3$.

So che il sistema ammette soluzione solo con $\lambda=1$ e ha soluzione $(x,y,z)=(1,1/2,2)$.


Come procedere?

Grazie mille

[Pazzuzu]

Buongiorno Pozzetto,
Toglimi un dubbio per piacere: $\lambda = 1$ è l'unico valore di $\lambda$ per cui il sistema è compatibile o ci sono altri valori per cui il sistema ammette anche un'infinità di soluzioni ?

[Pozzetto1]

Si,è l'unica soluzione del sistema...

[Pazzuzu]

Dunque l'unica soluzione del sistema è un vettore di coordinate...Allora le tue soluzioni sono di questa forma $ S = v_0 + t*O$, dove $v_0$ è l'unica soluzione che hai trovato per $\lambda =1$..Perciò $dim(S) = 0$..Non ha proprio senso il concetto di parallelismo rispetto al vettore nullo..

[Pozzetto1]

Mi viene detto che lo spazio vettoriale supplementare è $RR^3$ tutto....

[Pazzuzu]

Allora questa è la conferma che i conti che abbiamo fatto sono giusti, infatti se $U$ è il supplementare di $V_1$ in $RR^3$, si ha, come conseguenza della definizione di somma diretta tra sottospazi : $dim (RR^3) = dim (U) + dim (V_1) -> dim(V_1) = dim (RR^3) - dim (U) -> dim(V_1) = 3-3 = 0$. Direi tranquillamente che non esiste lo spazio vettoriale $V_1$ parallelo a $S$ (ho definito $S$ poco più su) o più precisamente che $V_1 = O$...