Spazio affine
Salve sto facendo un riepilogo vorrei che mi illuminaste su alcune zone d'ombra e che mi correggeste se dico castronerie.
Allora si definisce affinità quell'applicazione biunivoca che conserva le orientazioni, cioè manda rette in rette, piani in piani, punti allineati in punti allineati, lasciando invariati i rapporti semplici. Ora tali applicazioni del campo dell'algebra lineare possiamo identificarle con il gruppo $Gl_n(RR)$.
Domanda 1.nel caso dei cambiamenti di riferimento se il determinante della matrice è positivo l'orientazione è la stessa, se negativo opposta, se è nullo cosa accade?
Domanda 2.La differenza sostanziale tra spazio vettoriale e spazio affine è solo quella di aver sempre definta un affinità che "trasforma" coerentemente gli oggetti dello spazio? La struttura oltre a quest'aggiunta è invariata?
Domanda 3. Potete farmi un esempio di uno spazio vettoriale che nn è affine.
Grazie a presto.
Allora si definisce affinità quell'applicazione biunivoca che conserva le orientazioni, cioè manda rette in rette, piani in piani, punti allineati in punti allineati, lasciando invariati i rapporti semplici. Ora tali applicazioni del campo dell'algebra lineare possiamo identificarle con il gruppo $Gl_n(RR)$.
Domanda 1.nel caso dei cambiamenti di riferimento se il determinante della matrice è positivo l'orientazione è la stessa, se negativo opposta, se è nullo cosa accade?
Domanda 2.La differenza sostanziale tra spazio vettoriale e spazio affine è solo quella di aver sempre definta un affinità che "trasforma" coerentemente gli oggetti dello spazio? La struttura oltre a quest'aggiunta è invariata?
Domanda 3. Potete farmi un esempio di uno spazio vettoriale che nn è affine.
Grazie a presto.
Risposte
io le definizioni le conosco in modo diverso, comunque almeno riguardo a questo:
penso di saper rispondere: se il determinante è nullo la matrice non rappresenta un cambiamento di riferimento.
Domanda 1.nel caso dei cambiamenti di riferimento se il determinante della matrice è positivo l'orientazione è la stessa, se negativo opposta, se è nullo cosa accade?
penso di saper rispondere: se il determinante è nullo la matrice non rappresenta un cambiamento di riferimento.
Non so se usi una notazione diversa da me... per me $Gl_n(RR)$ è il gruppo lineare ovvero il gruppo delle matrici invertibili di ordine n, isomorfo al gruppo degli automorfismi dello spazio.
Un'affinità è una trasformazione affine (la definizione dipende da che tipo di spazio usi:affine-vettoriale-euclideo) invertibile.
Questo già ti dice che la matrice che la definisce deve essere non singolare.
Uno spazio affine lo puoi vedere intuitivamene come uno spazio vettoriale senza un'origine. Anche qui non so che definizione usi...
Qualunque spazio vettoriale non è affine, o è affine o è vettoriale. Cosa intendi per spazio vettoriale non affine?
Un'affinità è una trasformazione affine (la definizione dipende da che tipo di spazio usi:affine-vettoriale-euclideo) invertibile.
Questo già ti dice che la matrice che la definisce deve essere non singolare.
Uno spazio affine lo puoi vedere intuitivamene come uno spazio vettoriale senza un'origine. Anche qui non so che definizione usi...
Qualunque spazio vettoriale non è affine, o è affine o è vettoriale. Cosa intendi per spazio vettoriale non affine?
Solitamente si parla di spazi vettoriali senza l'utilizzo dell'aggettivo affine. Credevo che la stuttura affine fosse una qualità ulteriore dello spazio.
Mi puoi spiegare bene questa cosa. Grazie.
Mi puoi spiegare bene questa cosa. Grazie.
"squalllionheart":
Solitamente si parla di spazi vettoriali senza l'utilizzo dell'aggettivo affine. Credevo che la stuttura affine fosse una qualità ulteriore dello spazio.
Mi puoi spiegare bene questa cosa. Grazie.
Sono quasi la stessa cosa. Sono 2 insiemi isomorfi, infatti, fissato un punto $P in A$, definiamo $f$ come segue:
$f:V->A$ , $f(v)=P+v
Gli assiomi di Spazio Affine permettono di dire che $f$ è biiettiva.
Ho detto quasi perchè $f$ non è canonico (dipende dalla scelta di $P$...): questo ci permette di fare la seguente considerazione: la differenza sostanziale tra gli insiemi Spazio Affine e Spazio Vettoriale è che nel primo non v'è un elemento più "bello" degli altri (lo zero)...
nn vi è lo $0$ ma cmq è definita l'origine?
"squalllionheart":
nn vi è lo $0$ ma cmq è definita l'origine?
Origine e Zero sono 2 cose diverse... La prima è il punto-base di un sistema di riferimento (non ha valore intrinseco per l'insieme, dipendendo puramente da parametri arbitrari...) mentre la seconda è un particolare elemento dell'insieme...
Concludendo, l'origine (che non è lo zero) si può scegliere liberamente, fissando un sistema di riferimento nello spazio affine...
si ok.Ma il fatto che lo $0$ sia come gli altri numeri da cosa dipende?
"squalllionheart":
si ok.Ma il fatto che lo $0$ sia come gli altri numeri da cosa dipende?
Non ci stiamo capendo...
$0$ (*) non è inteso in quanto numero, bensì in qualità di vettore nullo d'uno spazio vettoriale (o, più in generale, se su un generico insieme $S$ è definita un'operazione binaria $#$, diciamo che $0$ è quell'unico elemento tale che $P#0=P, AA P in S$).
La non esistenza di $0$ (hai mai sentito parlare di punto nullo?!) può essere dedotta dall'arbitrarietà della scelta della biiezione tra Vettoriale ed Affine... Oppure si puo verificare immediatamente, partendo dalle definizioni...
(*) Talvolta il vettore nullo d'uno spazio vettoriale $V$ si indica col simbolo $0_V$...
ok. Quindi corregimi se sbaglio riguardo alle seguenti affermazioni:
1. Come per gli spazi proiettivi non ha senso parlare dell'elemento nullo.
2. Non conosco il tag per il commento comunque dato che tu affermi questo
"Sono quasi la stessa cosa. Sono 2 insiemi isomorfi, infatti, fissato un punto P∈A, definiamo f come segue:
f:V→A , f(v)=P+v
Gli assiomi di Spazio Affine permettono di dire che f è isomorfismo.
Ho detto quasi perchè f non è canonico (dipende dalla scelta di P...): questo ci permette di fare la seguente considerazione: la differenza sostanziale tra gli insiemi Spazio Affine e Spazio Vettoriale è che nel primo non v'è un elemento più "bello" degli altri (lo zero)..."
Giustamente per come hai definito l'applicazione l'isomorfismo tra V e A, qualunque vettore $vinV $prendo in considerazione nel dominio $V$ l'immagine di $v$ mediante $f$ non potrà mai avere un vettore nullo. Giusto?
Grazie e scusami.
1. Come per gli spazi proiettivi non ha senso parlare dell'elemento nullo.
2. Non conosco il tag per il commento comunque dato che tu affermi questo
"Sono quasi la stessa cosa. Sono 2 insiemi isomorfi, infatti, fissato un punto P∈A, definiamo f come segue:
f:V→A , f(v)=P+v
Gli assiomi di Spazio Affine permettono di dire che f è isomorfismo.
Ho detto quasi perchè f non è canonico (dipende dalla scelta di P...): questo ci permette di fare la seguente considerazione: la differenza sostanziale tra gli insiemi Spazio Affine e Spazio Vettoriale è che nel primo non v'è un elemento più "bello" degli altri (lo zero)..."
Giustamente per come hai definito l'applicazione l'isomorfismo tra V e A, qualunque vettore $vinV $prendo in considerazione nel dominio $V$ l'immagine di $v$ mediante $f$ non potrà mai avere un vettore nullo. Giusto?
Grazie e scusami.
"squalllionheart":
Giustamente per come hai definito l'applicazione l'isomorfismo tra V e A, qualunque vettore $vinV $prendo in considerazione nel dominio $V$ l'immagine di $v$ mediante $f$ non potrà mai avere un vettore nullo. Giusto?
Occorre osservare che il codominio di $f$ non è Spazio Vettoriale, bensì Affine... Quindi le immagini dei vettori sono dei punti!
EDIT: $f$ ho detto che $f$ è isomorfismo, sbagliando... Si tratta invece di una semplice biiezione tra 2 insiemi...
scusami lo spazio affine io credevo fosse cmq uno spazio costituito da vettori invece a quanto pare sono punti?Umm.....A questo punto potresti spiegarmi bene la questione dell'elemento nullo.Grazie
"squalllionheart":
scusami lo spazio affine io credevo fosse cmq uno spazio costituito da vettori invece a quanto pare sono punti?Umm.....A questo punto potresti spiegarmi bene la questione dell'elemento nullo.Grazie
Spazio vettoriale (su un campo $K$): è un insieme, i cui elementi sono detti vettori, dotato di due operazioni (somma $+$ e prodotto per gli scalari $*$) soggetto ai seguenti assiomi: commutativita, associatività, esistenza dell'elemento neutro ($0_V$) e dell'opposto per $+$, commutatività, associatività, unitarietà e linearità sugli scalari e sui vettori per $*$.
Spazio affine: è un tripletta $(A,V,+)$ dove $A$ è un insieme i cui elementi son detti punti, $V$ è uno spazio vettoriale detto spazio delle traslazioni e $+$ è detta azione di $V$ su $A$...
$+:A$x$V->A$ che alla coppia punto, vettore $(P,v)$ associa il punto $P+v$.
$+$ è soggetta a tre assiomi: nullitarietà, associatività ed esistenza e unicità del vettore che manda un punto nell'altro...
L'elemento nullo $0_V$ di uno spazio vettoriale $V$ l'elemento neutro per la somma... Accade quindi che, per ogni $v in V$:
$v+0_V=v$
ok. Il nullo pre l'affine è il punto $0$, perchè a differenza del cosa numerico lo zero non è speciale?
Grazie perla pazienza un bacio Mari.
Grazie perla pazienza un bacio Mari.
"squalllionheart":
ok. Il nullo pre l'affine è il punto $0$, perchè a differenza del cosa numerico lo zero non è speciale?
Grazie perla pazienza un bacio Mari.
E' un piacere, non preoccuparti!
Ciò che voglio dire è questo: negli spazi vettoriali esiste l'elemento Zero mentre negli spazi affini no. Ciò che tu chiami zero nell'affine è l'origine (cioè il punto che si indica con un'ennupla di zeri). Ma l'origine non è un elemento più "bello" degli altri, perchè può venir scelto liberamente tra i punti dell'affine!
Spero di essermi spiegato...
ok. Incomincio a vedere 
L'idea, corregimi per l'ultima volta se sbaglio , è la seguente il punto $P$ nello spazio affine n-dimensionale che identifichiamo con l'ennupla fata di zeri rappresenta solo l'origine degli assi coordiniti a differenza del caso numerico reale in cui con lo $0$ nn è lecito fare alcune operazioni.
Giusto?
Domandina bonus: tale interpretazione è analoga anche per il punto di coordinate omogenee $P[0,0,0]inP(V)$.
Domandina bouns, bonus:Per gli spazi vettoriali i cui elementi sono i vettori, il celebre vettore nullo è innoquo dato che siamo in un campo. Il vettore nullo non è un elemento trascendentale con cui stare attenti, come lo $0$ nel campo numerico.Giusto?
L'idea, corregimi per l'ultima volta se sbaglio , è la seguente il punto $P$ nello spazio affine n-dimensionale che identifichiamo con l'ennupla fata di zeri rappresenta solo l'origine degli assi coordiniti a differenza del caso numerico reale in cui con lo $0$ nn è lecito fare alcune operazioni.Giusto?
Domandina bonus: tale interpretazione è analoga anche per il punto di coordinate omogenee $P[0,0,0]inP(V)$.
Domandina bouns, bonus:Per gli spazi vettoriali i cui elementi sono i vettori, il celebre vettore nullo è innoquo dato che siamo in un campo. Il vettore nullo non è un elemento trascendentale con cui stare attenti, come lo $0$ nel campo numerico.Giusto?
"squalllionheart":
ok. Incomincio a vedere
Giusto?
Beh, si possono fare operazioni con lo zero... Comunque ci siamo, hai capito la differenza sostanziale.
"squalllionheart":
Domandina bonus: tale interpretazione è analoga anche per il punto di coordinate omogenee $P[0,0,0]inP(V)$.
No. le coordinate omogenee $((0),(0),(0))$ non denotano un punto, bensì il Vuoto proiettivo, cioè la sottovarietà lineare di $P^2$ che ha come sostegno uno spazio vettoriale nullo (cioè uno spazio formato dal solo vettore zero).
"squalllionheart":
Domandina bouns, bonus:Per gli spazi vettoriali i cui elementi sono i vettori, il celebre vettore nullo è innoquo dato che siamo in un campo. Il vettore nullo non è un elemento trascendentale con cui stare attenti, come lo $0$ nel campo numerico.Giusto?
Sperando di non aver male interpretato la tua domanda, rispondo così: le operazioni tra vettori sono 2, somma e prodotto con gli scalari. Nessuna delle 2 da problemi se uno dei vettori è il vettore nullo.
Potresti spiegare cosa signifiva la parte che ho evidenzaito nella citazione?
E' solamente per fare un confronto con i vari tipi di spazi che ho studiato. Avendo chiarito la differenza sostanziale tra il punto nello spazio affine con tutte le componenti nulle, lo zero nel caso numerico e il Punto di coordinate omogenee tutte nulle alias vuoto proiettivo, manca il vettore nullo per gli spazio vettoriale, tutto qua, non ho detto nulla di profondo .
A quanto pare l'unica cosa profonda nella discussione aperta era la profonda confusione che avevo in testa. Grazie a presto.
P.s.
Si potrebbe fare un libro si tutto ciò.
P.s.s.
Il vettore nullo non si deve pensare come un punto?è un vettore di modulo $0$ privo di direzione e verso giusto?
.A quanto pare l'unica cosa profonda nella discussione aperta era la profonda confusione che avevo in testa. Grazie a presto.
P.s.
Si potrebbe fare un libro si tutto ciò.
P.s.s.
Il vettore nullo non si deve pensare come un punto?è un vettore di modulo $0$ privo di direzione e verso giusto?
"squalllionheart":
P.s.s.
Il vettore nullo non si deve pensare come un punto?è un vettore di modulo $0$ privo di direzione e verso giusto?
Si può anche vedere così... Dipende da cosa devi fare con i vettori...
Grazie apresto.
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