Spazi vettoriali,panico concettuale (Risolto)
Buonasera a tutti,
ho un dubbio concettuale sugli spazi vettoriali e pensavo che con il vostro gentil aiuto avrei potuto chiarirmi le idee.
Premetto che ho il difetto di concretizzare molto qualsiasi concetto mi trovo ad affrontare, questo mi porta ad avere seri limiti nel ragionamento astratto. Purtroppo concretizzare è l'unico modo che mi aiuta a capire.
Venendo al mio dubbio:
Concettualmente uno spazio vettoriale potrei pensarlo come un insieme di vettori (definizione che ho letto su di un libro. Perdonatemi, non ricordo proprio il nome). Questa definizione mi pone però davanti a qualche limite concettuale. Mi spiego meglio: essendo uno s.v. un insieme di vettori allora per esempio potrei vedere uno spazio vettoriale come un insieme contenente n vettori finiti (es: w,r,s,t,z,x). Uno scalare per un qualsiasi degli n vettori non è a questo punto un prodotto interno, a meno che uno degli n vettori non sia un multiplo di un altro.
Per associare allora la definizione di s.v. ad un'entità geometrica, ho pensato che uno s.v. fosse un insieme di rette aventi un punto in comune, chiamato origine: ogni retta prolungamento di un vettore unitario, vettore base di una particolare componente. In questo modo avrei concettualmente infiniti vettori e finite/infinite dimensioni (a seconda di quante rette scelgo di prendere: ogni retta ho pensato indicasse una dimensione). Con 2 rette avrei un piano, 3 rette uno spazio, e così via...
La somma di due rette (ragionamento fatto per ricollegarmi alla somma di vettori in uno spazio) ho pensato potessi vederla come: somma di due generici vettori, rispettivamente stanti su una e l'altra retta, aventi come risultato un vettore situato nello spazio stante tra le rette (il piano). In questo modo la somma di due rette mi individua tutto lo spazio contenuto tra le due rette (il piano). Ragionamento analogo fatto per lo spazio, e per il prodotto scalare vettore.
Ora, quanto ho un sottospazio vettoriale, essendo sottoinsieme di uno spazio, considero m rette dello s.v., con m≤n(rette/dimensioni dello s.v).
ecco le domande
1) il mio ragionamento è sbagliato?
2) Siano A e B sottospazi di C. Considero il sottospazio intersezione A intersecato B.
sappiamo che l'intersezione di due sottospazi vettoriali genera un ulteriore sottospazio, quindi due sottospazi differenti contenenti delle rette, hanno in comune o delle rette o il punto in cui queste rette si incontrano. Come può questo sottospazio intersezione risultare chiuso? Se avessero in comune una o più rette allora il problema non si pone, perchè tornerei al ragionamento fatto in precedenza. Se invece l'intersezione dei due sottospazi si limitasse ad un punto (il punto di incontro delle due rette) questo insieme non risulta chiuso. Moltiplicando infatti quel punto per uno scalare ne ottengo uno che non è intersezione delle rette.
3) Siano A e B sottospazi di C. Allora A U B perchè non è sottospazio? So che non chiuso rispetto alla somma ma: se prendo le rette contenute in A e quelle contenute in B. Si incontrano in un punto. Due vettori stanti rispettivamente su una di queste rette hanno somma che si raffigura come un vettore contenuto nello spazio tra queste rette.
Sono in alto mare...Credo che il mio ragionamento sia incorretto, solo che non riesco a capire gli errori e di conseguenza correggere i limiti che questo ragionamento porta con sé. Chiedo aiuto quindi a voi, che sicuramente ne sapete più di me.
Ringrazio per l'attenzione.
ho un dubbio concettuale sugli spazi vettoriali e pensavo che con il vostro gentil aiuto avrei potuto chiarirmi le idee.
Premetto che ho il difetto di concretizzare molto qualsiasi concetto mi trovo ad affrontare, questo mi porta ad avere seri limiti nel ragionamento astratto. Purtroppo concretizzare è l'unico modo che mi aiuta a capire.
Venendo al mio dubbio:
Concettualmente uno spazio vettoriale potrei pensarlo come un insieme di vettori (definizione che ho letto su di un libro. Perdonatemi, non ricordo proprio il nome). Questa definizione mi pone però davanti a qualche limite concettuale. Mi spiego meglio: essendo uno s.v. un insieme di vettori allora per esempio potrei vedere uno spazio vettoriale come un insieme contenente n vettori finiti (es: w,r,s,t,z,x). Uno scalare per un qualsiasi degli n vettori non è a questo punto un prodotto interno, a meno che uno degli n vettori non sia un multiplo di un altro.
Per associare allora la definizione di s.v. ad un'entità geometrica, ho pensato che uno s.v. fosse un insieme di rette aventi un punto in comune, chiamato origine: ogni retta prolungamento di un vettore unitario, vettore base di una particolare componente. In questo modo avrei concettualmente infiniti vettori e finite/infinite dimensioni (a seconda di quante rette scelgo di prendere: ogni retta ho pensato indicasse una dimensione). Con 2 rette avrei un piano, 3 rette uno spazio, e così via...
La somma di due rette (ragionamento fatto per ricollegarmi alla somma di vettori in uno spazio) ho pensato potessi vederla come: somma di due generici vettori, rispettivamente stanti su una e l'altra retta, aventi come risultato un vettore situato nello spazio stante tra le rette (il piano). In questo modo la somma di due rette mi individua tutto lo spazio contenuto tra le due rette (il piano). Ragionamento analogo fatto per lo spazio, e per il prodotto scalare vettore.
Ora, quanto ho un sottospazio vettoriale, essendo sottoinsieme di uno spazio, considero m rette dello s.v., con m≤n(rette/dimensioni dello s.v).
ecco le domande
1) il mio ragionamento è sbagliato?
2) Siano A e B sottospazi di C. Considero il sottospazio intersezione A intersecato B.
sappiamo che l'intersezione di due sottospazi vettoriali genera un ulteriore sottospazio, quindi due sottospazi differenti contenenti delle rette, hanno in comune o delle rette o il punto in cui queste rette si incontrano. Come può questo sottospazio intersezione risultare chiuso? Se avessero in comune una o più rette allora il problema non si pone, perchè tornerei al ragionamento fatto in precedenza. Se invece l'intersezione dei due sottospazi si limitasse ad un punto (il punto di incontro delle due rette) questo insieme non risulta chiuso. Moltiplicando infatti quel punto per uno scalare ne ottengo uno che non è intersezione delle rette.
3) Siano A e B sottospazi di C. Allora A U B perchè non è sottospazio? So che non chiuso rispetto alla somma ma: se prendo le rette contenute in A e quelle contenute in B. Si incontrano in un punto. Due vettori stanti rispettivamente su una di queste rette hanno somma che si raffigura come un vettore contenuto nello spazio tra queste rette.
Sono in alto mare...Credo che il mio ragionamento sia incorretto, solo che non riesco a capire gli errori e di conseguenza correggere i limiti che questo ragionamento porta con sé. Chiedo aiuto quindi a voi, che sicuramente ne sapete più di me.
Ringrazio per l'attenzione.
Risposte
Benvenuto!
Un insieme di vettori con due operazioni tale che siano soddisfatti dei precisi assiomi.
In generale uno spazio vettoriale può contenere un numero finito di vettori, ma nota che, se il campo degli scalari è $RR$ o $CC$ e $V$ non è $\{\mathbf{0}\}$, $V$ contiene necessariamente infiniti vettori perché uno degli assiomi è proprio che per ogni $a\in\mathbb{K},\mathbf{v}\in V$ anche $a\mathbf{v}$ sta in $V$.
Qua non ti seguo... Il prodotto interno è il prodotto scalare \(\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\), cosa diversa dal prodotto per uno scalare \(a\mathbf{v}\) con \(a\in\mathbb{K}\).
Forse intendi che immagini una base di vettori unitari di $V$, di versori (saprai che non necessariamente i vettori di una base devono essere unitari), diciamo \(\{\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_n\}\),e che ogni vettore di $V$ si esprime come combinazione \(x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\) dove \((x_1,...,x_n)\) sono le coordinate -o componenti- del vettore... in tal caso, sì, è così (se la dimensione è finita).
Nel caso di uno spazio tipo $RR^2$ o $RR^3$ direi che la tua interpretazione geometrica mi pare fin qui sostanzialmente corretta anche se espressa in un modo improprio, ma tieni conto che gli spazi vettoriali non sono solo quelli.
La somma di due vettori geometrici linearmente indipendenti si trova sul piano tra di essi, che forse è quello che intendi...
Se è un solo punto -in realtà direi che queste interpretazioni geometriche siano da attribuire correttamente piuttosto a spazi affini di tipo $A^2(RR)$ e $A^3(RR)$, che studierai più avanti, ma qua abuso un po' di questi termini geometrici come punto, retta, piano...- è \(\{\mathbf{0}\}\) e \(k\mathbf{0}\in\{\mathbf{0}\}\).
Sì, ma questo vettore geometrico potrebbe non appartenere ad $A uu B$. Prendi ad esempio $C=RR^3$, \(\mathbf{v}=(2,0,0)\in A=\text{Span}(1,0,0)\) (cioè $A$ è il sottospazio generato da $(1,0,0)$) e \(\mathbf{w}=(0,3,0)\in B=\text{Span}(0,1,0)\): la somma \(\mathbf{v}+\mathbf{w}=(2,3,0)\) non è né multiplo di $(1,0,0)$ né di $(0,1,0)$ e quindi non appartiene a $A uu B$.
Spero di averti chiarito qualcosa e di essere flagellato se ho detto delle scemenze...
Ciao!
"FabriMaggio38":
uno spazio vettoriale potrei pensarlo come un insieme di vettori
Un insieme di vettori con due operazioni tale che siano soddisfatti dei precisi assiomi.
"FabriMaggio38":
potrei vedere uno spazio vettoriale come un insieme contenente n vettori finiti (es: w,r,s,t,z,x).
In generale uno spazio vettoriale può contenere un numero finito di vettori, ma nota che, se il campo degli scalari è $RR$ o $CC$ e $V$ non è $\{\mathbf{0}\}$, $V$ contiene necessariamente infiniti vettori perché uno degli assiomi è proprio che per ogni $a\in\mathbb{K},\mathbf{v}\in V$ anche $a\mathbf{v}$ sta in $V$.
"FabriMaggio38":
Uno scalare per un qualsiasi degli n vettori non è a questo punto un prodotto interno, a meno che uno degli n vettori non sia un multiplo di un altro.
Qua non ti seguo... Il prodotto interno è il prodotto scalare \(\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\), cosa diversa dal prodotto per uno scalare \(a\mathbf{v}\) con \(a\in\mathbb{K}\).
"FabriMaggio38":
vettore base di una particolare componente.
Forse intendi che immagini una base di vettori unitari di $V$, di versori (saprai che non necessariamente i vettori di una base devono essere unitari), diciamo \(\{\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_n\}\),e che ogni vettore di $V$ si esprime come combinazione \(x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\) dove \((x_1,...,x_n)\) sono le coordinate -o componenti- del vettore... in tal caso, sì, è così (se la dimensione è finita).
Nel caso di uno spazio tipo $RR^2$ o $RR^3$ direi che la tua interpretazione geometrica mi pare fin qui sostanzialmente corretta anche se espressa in un modo improprio, ma tieni conto che gli spazi vettoriali non sono solo quelli.
"FabriMaggio38":
La somma di due rette (ragionamento fatto per ricollegarmi alla somma di vettori in uno spazio) ho pensato potessi vederla come: somma di due generici vettori, rispettivamente stanti su una e l'altra retta
La somma di due vettori geometrici linearmente indipendenti si trova sul piano tra di essi, che forse è quello che intendi...
"FabriMaggio38":
Se invece l'intersezione dei due sottospazi si limitasse ad un punto (il punto di incontro delle due rette) questo insieme non risulta chiuso. Moltiplicando infatti quel punto per uno scalare ne ottengo uno che non è intersezione delle rette.
Se è un solo punto -in realtà direi che queste interpretazioni geometriche siano da attribuire correttamente piuttosto a spazi affini di tipo $A^2(RR)$ e $A^3(RR)$, che studierai più avanti, ma qua abuso un po' di questi termini geometrici come punto, retta, piano...- è \(\{\mathbf{0}\}\) e \(k\mathbf{0}\in\{\mathbf{0}\}\).
"FabriMaggio38":
3) Siano A e B sottospazi di C. Allora A U B perchè non è sottospazio? So che non chiuso rispetto alla somma ma: se prendo le rette contenute in A e quelle contenute in B. Si incontrano in un punto. Due vettori stanti rispettivamente su una di queste rette hanno somma che si raffigura come un vettore contenuto nello spazio tra queste rette.
Sì, ma questo vettore geometrico potrebbe non appartenere ad $A uu B$. Prendi ad esempio $C=RR^3$, \(\mathbf{v}=(2,0,0)\in A=\text{Span}(1,0,0)\) (cioè $A$ è il sottospazio generato da $(1,0,0)$) e \(\mathbf{w}=(0,3,0)\in B=\text{Span}(0,1,0)\): la somma \(\mathbf{v}+\mathbf{w}=(2,3,0)\) non è né multiplo di $(1,0,0)$ né di $(0,1,0)$ e quindi non appartiene a $A uu B$.
Spero di averti chiarito qualcosa e di essere flagellato se ho detto delle scemenze...
Ciao!
un poco di confusione effettivamente c'è. Per la terza domanda , vedila cosi :
Considera $W=<1,x>$ e $U=$
Gli elementi di $W$ sono della forma $w= \lambda _ 1 + \lambda_2 x$ , quelli di $U$ sono della forma $u=\mu_1x^2$
Converrai con me che il vettore $w+u = \lambda_1+\lambda_2x+\mu_1x^2$ non appartiene ne a $W$ ne a $U$, quindi $U uu W$ non è un sottospazio perché non rispetta la chiusura rispetto a $+$.
Per la seconda, diciamo che se $U,W$ sono spazi vettoriali qualsiasi, se diciamo che $UnnW$ consta di un solo vettore intendiamo necessariamente che $UnnW={0_v}$ e ovviamente ${0_V}$ munito delle operazioni di $V$ risulta eessere un sottospazio vettoriale.
In generale pensare gli spazi vettoriali solo dal punto di vista intuitivo e pragmatico è forviante. E necessario prendere confidenza con l'aspetto algebrico del concetto. Vedere cioè uno spazio vettoriale semplicemente come una struttura algebrica.
Se trovi difficoltà con l'astrattezza di questi concetti , costruisciti degli esempi (consulta il sernesi o l'abate) .
Ad esempio i vettori geometrici.
Le matrici , polinomi... R^n (n >=1) , sono i primi esempi fondamentali di sp vettoriali.
Considera $W=<1,x>$ e $U=
Gli elementi di $W$ sono della forma $w= \lambda _ 1 + \lambda_2 x$ , quelli di $U$ sono della forma $u=\mu_1x^2$
Converrai con me che il vettore $w+u = \lambda_1+\lambda_2x+\mu_1x^2$ non appartiene ne a $W$ ne a $U$, quindi $U uu W$ non è un sottospazio perché non rispetta la chiusura rispetto a $+$.
Per la seconda, diciamo che se $U,W$ sono spazi vettoriali qualsiasi, se diciamo che $UnnW$ consta di un solo vettore intendiamo necessariamente che $UnnW={0_v}$ e ovviamente ${0_V}$ munito delle operazioni di $V$ risulta eessere un sottospazio vettoriale.
In generale pensare gli spazi vettoriali solo dal punto di vista intuitivo e pragmatico è forviante. E necessario prendere confidenza con l'aspetto algebrico del concetto. Vedere cioè uno spazio vettoriale semplicemente come una struttura algebrica.
Se trovi difficoltà con l'astrattezza di questi concetti , costruisciti degli esempi (consulta il sernesi o l'abate) .
Ad esempio i vettori geometrici.
Le matrici , polinomi... R^n (n >=1) , sono i primi esempi fondamentali di sp vettoriali.
"DavideGenova":
(...)
"Kashaman":
(...)
Grazie mille ad entrambi per le correzioni e per avermi risposto, nonostante la domanda fosse lunga e incasinata. Spero di restituire il favore rispondendo a qualcosa (anche se la vedo difficile)!
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