(Spazi vettoriali) .. sulla definizione di "applicazione \(n-\)lineare" - "forma \(n-\)lineare" ... (in forma estesa)
Salve a tutti,
rivedevo alcune cosine e cosette sulle applicazioni "multilineari" tra spazi vettoriali.. e per quanto mi sforzi ad usare le scritture compatte del tipo http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_multilin%C3%A9aire#D.C3.A9finition sono sempre incuriosito dalla loro forma estesa, pensando tra me e me mi sono fatto un'idea e volevo avere una qualche conferma in merito alla seguente (purtroppo il forum è troppo poco largo e non mi è di grande aiuto, ergo ho preferito postare il tutto in una immagine
, mi perdoni chi aveva intenzione di copiare il codice latex per una eventuale risposta ma per fortuna sua/mia esiste pastebin (CLIC) 
):
CLIC collegamento diretto all'immagine (nonostante tutto qualche porzione di testo manca sempre)
E' corretto?
Ne approfitto per dare ulteriormente due definizioni sulle quali vorrei una conferma:
Def.: siano dati $E_1,E_2,...,E_n $ $n-$spazi vettoriali sul medesimo campo $ K $, $ F $ uno spazio vettoriale sul campo $ K $, e $ \mathfrak{f}:(E_1\times E_2 \times ... \times E_n) \to F $, dicesi che $ \mathfrak{f} $ è forma \(n-\)lineare su $(E_1\times E_2 \times ... \times E_n)$ se :
1) $ \mathfrak{f} $ è applicazione \(n-\)lineare di $(E_1\times E_2 \times ... \times E_n)$ in $F $ su $ K $
2) \(F=K^1 \)
Def.: siano dati $E_1,E_2,...,E_n $ $n-$spazi vettoriali sul medesimo campo $ K $, $ F $ uno spazio vettoriale sul campo $ K $, e $ \mathfrak{f}:(E_1\times E_2 \times ... \times E_n) \to F $, dicesi che $ \mathfrak{f} $ è forma \(n-\)lineare su $E_1$ se :
1) $ \mathfrak{f} $ è forma \(n-\)lineare su $(E_1\times E_2 \times ... \times E_n)$
2) $E_1=E_2=...=E_n $
corrette? O qualcosa, di sottile, non va? Ringrazio in anticipo!
Saluti
[ot]L'aspetto che più mi fa infuriare
delle notazioni compatte è il fatto che da pagina a pagina, da testo a testo, trovo sempre modi di scrivere diversi che devo interpretare o almeno capire ...[/ot]
rivedevo alcune cosine e cosette sulle applicazioni "multilineari" tra spazi vettoriali.. e per quanto mi sforzi ad usare le scritture compatte del tipo http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_multilin%C3%A9aire#D.C3.A9finition sono sempre incuriosito dalla loro forma estesa, pensando tra me e me mi sono fatto un'idea e volevo avere una qualche conferma in merito alla seguente (purtroppo il forum è troppo poco largo e non mi è di grande aiuto, ergo ho preferito postare il tutto in una immagine
, mi perdoni chi aveva intenzione di copiare il codice latex per una eventuale risposta ma per fortuna sua/mia esiste pastebin (CLIC) ):CLIC collegamento diretto all'immagine (nonostante tutto qualche porzione di testo manca sempre)
E' corretto?
Ne approfitto per dare ulteriormente due definizioni sulle quali vorrei una conferma:
Def.: siano dati $E_1,E_2,...,E_n $ $n-$spazi vettoriali sul medesimo campo $ K $, $ F $ uno spazio vettoriale sul campo $ K $, e $ \mathfrak{f}:(E_1\times E_2 \times ... \times E_n) \to F $, dicesi che $ \mathfrak{f} $ è forma \(n-\)lineare su $(E_1\times E_2 \times ... \times E_n)$ se :
1) $ \mathfrak{f} $ è applicazione \(n-\)lineare di $(E_1\times E_2 \times ... \times E_n)$ in $F $ su $ K $
2) \(F=K^1 \)
Def.: siano dati $E_1,E_2,...,E_n $ $n-$spazi vettoriali sul medesimo campo $ K $, $ F $ uno spazio vettoriale sul campo $ K $, e $ \mathfrak{f}:(E_1\times E_2 \times ... \times E_n) \to F $, dicesi che $ \mathfrak{f} $ è forma \(n-\)lineare su $E_1$ se :
1) $ \mathfrak{f} $ è forma \(n-\)lineare su $(E_1\times E_2 \times ... \times E_n)$
2) $E_1=E_2=...=E_n $
corrette? O qualcosa, di sottile, non va? Ringrazio in anticipo!
Saluti
[ot]L'aspetto che più mi fa infuriare
delle notazioni compatte è il fatto che da pagina a pagina, da testo a testo, trovo sempre modi di scrivere diversi che devo interpretare o almeno capire ...[/ot]
Risposte
Direi tutto corretto.
In generale, una forma $n$-lineare e' una applicazione $n$-lineare a valori nel campo.
In realta', a patto di dualizzare qualcosa e aumentare la dimensione, si puo' usare la nozione di prodotto tensoriale per trasformare qualunque applicazione multilineare in una applicazione lineare a valori nel campo.
In generale, una forma $n$-lineare e' una applicazione $n$-lineare a valori nel campo.
In realta', a patto di dualizzare qualcosa e aumentare la dimensione, si puo' usare la nozione di prodotto tensoriale per trasformare qualunque applicazione multilineare in una applicazione lineare a valori nel campo.
@Pappappero,
thanks
a breve arriverò al prodotto tensoriale per capire meglio quanto hai detto.. se intanto vuoi illuminarmi per il futuro ti sarò enormemente grato!
Saluti
"Pappappero":
Direi tutto corretto.
In generale, una forma $n$-lineare e' una applicazione $n$-lineare a valori nel campo.
In realta', a patto di dualizzare qualcosa e aumentare la dimensione, si puo' usare la nozione di prodotto tensoriale per trasformare qualunque applicazione multilineare in una applicazione lineare a valori nel campo.
thanks
a breve arriverò al prodotto tensoriale per capire meglio quanto hai detto.. se intanto vuoi illuminarmi per il futuro ti sarò enormemente grato! Saluti
I mattoni fondamentali sono essenzialmente due (indico con \(*\) lo spazio duale):
- se hai due spazi vettoriali $A,B$, lo spazio delle mappe lineari $f:A \to B$ (che nel mondo vero si chiama spazio delle matrici $a \times b$, dove $a$ e $b$ sono le dimensioni di $A$ e $B$) e' isomorfo al prodotto tensoriale \(A^* \otimes B\);
- inoltre, lo spazio delle forme multlineari $A \times B \to k$ e' isomorfo a \(A^* \otimes B^*\).
Quindi in particolare, lo spazio delle matrici si puo' vedere sia come spazio di mappe lineari (da $A$ a $B$), sia come spazio di forme multilineari (da $A\times B$ nel campo). Ma gia' che ci siamo, visto che \(A^* \otimes B^*\) e' isomorfo a $(A \times B)^*$, quello stesso spazio delle matrici si puo' anche vedere come spazio delle funzioni lineari da $A\otimes B$ nel campo. Oppure come spazio delle funzioni lineari dal campo in $(A \times B)^*$.
Se si aumenta il numero di spazi, ci si puo' sbizzarrire con tutte le combinazioni.
Il punto essenziale e' che in generale, e' che si puo' sempre far finta che le mappe multilineari (che sono essenzialmente scomode) siano mappe lineari che partono da spazi di tensori e atterrano in altri spazi di tensori.
- se hai due spazi vettoriali $A,B$, lo spazio delle mappe lineari $f:A \to B$ (che nel mondo vero si chiama spazio delle matrici $a \times b$, dove $a$ e $b$ sono le dimensioni di $A$ e $B$) e' isomorfo al prodotto tensoriale \(A^* \otimes B\);
- inoltre, lo spazio delle forme multlineari $A \times B \to k$ e' isomorfo a \(A^* \otimes B^*\).
Quindi in particolare, lo spazio delle matrici si puo' vedere sia come spazio di mappe lineari (da $A$ a $B$), sia come spazio di forme multilineari (da $A\times B$ nel campo). Ma gia' che ci siamo, visto che \(A^* \otimes B^*\) e' isomorfo a $(A \times B)^*$, quello stesso spazio delle matrici si puo' anche vedere come spazio delle funzioni lineari da $A\otimes B$ nel campo. Oppure come spazio delle funzioni lineari dal campo in $(A \times B)^*$.
Se si aumenta il numero di spazi, ci si puo' sbizzarrire con tutte le combinazioni.
Il punto essenziale e' che in generale, e' che si puo' sempre far finta che le mappe multilineari (che sono essenzialmente scomode) siano mappe lineari che partono da spazi di tensori e atterrano in altri spazi di tensori.
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