Spazi vettoriali metrici e proiezioni
Buongiorno a tutti, vi propongo questo esercizio di cui purtroppo non ho la soluzione, per verificare che il mio ragionamento sia corretto visto anche che non ho mai incontrato un esercizio di questo tipo.
Spazio vettoriale metrico $(R^4,< | >)$ con prodotto scalare canonico $< | >$ e base canonica fissata. È dato il piano $\sigma$ generato dai vettori $v_1 = (1, 0, 1, 0)$ e $v_2 = (0,1,−1,0)$.
(a). (3 punti) Determinare equazioni cartesiane per $\sigma$. Determinare equazioni cartesiane per $\sigma ^⊥$. Determinare una base ortogonale di $\sigma ^⊥$ che abbia come primo vettore $v_3 = (1, −1, −1, 0)$.
(b). (4 p.) Sia $S$ l’operatore di simmetria ortogonale rispetto a $\sigma$ e sia $P$ l’operatore di proiezione ortogonale su $\sigma ^⊥$. Determinare le matrici associate a $S$ e a $P$ nella base canonica.
(c). (2 p.) Verificare che $\tau = Span(v_1, v_3)$ `e un sottospazio invariante per $S$. Sia $T := S|_{\tau}$. Consideriamo la base $B_U$ di $\tau$ data da $B_U = {u_1 := v_1 +v_3,u_2 := v_1 −v_3}$. Determinare $M_{B_U}(T)$.
Per risolvere questo esercizio ho ragionato nel seguente modo (ometto i calcoli):
Mi viene data una base di $\sigma$ quindi è facile ricavarne le equazioni cartesiane che sono $x_4=0$ e $-x_1+x_2+x_3=0$. Per $\sigma ^⊥$ sappiamo che si tratta del complemento ortogonale, dunque sarà generato da due vettori $v_3$ e $v_4$ ortogonali alla base di $\sigma$, imponendo dunque la condizione $ = =0$ ottengo il sistema di equazioni cartesiane per $\sigma ^⊥$, ovvero $x_1+x_3=0$ e $x_2-x_3=0$. Considero ora $v_3 = (1,-1,-1,0) \in \sigma ^⊥$ poiché verifica il sistema, e ottengo facilmente $v_4=(0,0,0,1)$. Si vede immediatamente che $v_3 ⊥ v_4$, dunque abbiamo una base ortogonale per il complemento ortogonale $\sigma ^⊥$. Fino a qui nessun dubbio.
Per gli altri 2 punti ho pensato di fare così:
considero gli operatori $P: R^4 \rightarrow R^4$ e $S: R^4 \rightarrow R^4$ e poiché $R^4 = \sigma \oplus \sigma ^⊥$ posso dire che poiché $P$ è la proiezione su $\sigma ^⊥$ allora $ker(P)=\sigma$ e $\sigma ^⊥$ è l'autospazio di $P$ relativo all'autovalore 1, mentre poiché $S$ è la riflessione su $\sigma$, essendo $\forall v \in R^4 S(v)=2P(v)-v$, $\sigma ^⊥$ è l'autospazio relativo all'autovalore $1$ mentre $\sigma$ è l'autospazio relativo all'autovalore $-1$. Questa premessa mi permette di rappresentare i due operatori nella base di autovettori $B = {v_1,v_2,v_3,v_4}$ che avevo trovato prima, data dall'unione delle basi di $\sigma$ e $\sigma ^⊥$, ottenendo due le due matrici diagonali $M_B(S) = diag(-1,-1,1,1)$ e $M_B(S)=diag(0,0,1,1)$. A questo punto le matrici che rappresentano $S$ e $P$ nella base canonica si ottengono con la formula del cambio base. A questo punto la domanda è questa: é corretto supporre che i due operatori siano diagonalizzabili sempre in senso generale o sono stato "fortunato" in questo caso? Dunque questo metodo, se corretto, può essere sempre applicato?
Per quanto riguarda poi l'ultimo punto per dire che il sottospazio è invariate basta applicare l'operatore $S$ ai vettori della base?
Spazio vettoriale metrico $(R^4,< | >)$ con prodotto scalare canonico $< | >$ e base canonica fissata. È dato il piano $\sigma$ generato dai vettori $v_1 = (1, 0, 1, 0)$ e $v_2 = (0,1,−1,0)$.
(a). (3 punti) Determinare equazioni cartesiane per $\sigma$. Determinare equazioni cartesiane per $\sigma ^⊥$. Determinare una base ortogonale di $\sigma ^⊥$ che abbia come primo vettore $v_3 = (1, −1, −1, 0)$.
(b). (4 p.) Sia $S$ l’operatore di simmetria ortogonale rispetto a $\sigma$ e sia $P$ l’operatore di proiezione ortogonale su $\sigma ^⊥$. Determinare le matrici associate a $S$ e a $P$ nella base canonica.
(c). (2 p.) Verificare che $\tau = Span(v_1, v_3)$ `e un sottospazio invariante per $S$. Sia $T := S|_{\tau}$. Consideriamo la base $B_U$ di $\tau$ data da $B_U = {u_1 := v_1 +v_3,u_2 := v_1 −v_3}$. Determinare $M_{B_U}(T)$.
Per risolvere questo esercizio ho ragionato nel seguente modo (ometto i calcoli):
Mi viene data una base di $\sigma$ quindi è facile ricavarne le equazioni cartesiane che sono $x_4=0$ e $-x_1+x_2+x_3=0$. Per $\sigma ^⊥$ sappiamo che si tratta del complemento ortogonale, dunque sarà generato da due vettori $v_3$ e $v_4$ ortogonali alla base di $\sigma$, imponendo dunque la condizione $
Per gli altri 2 punti ho pensato di fare così:
considero gli operatori $P: R^4 \rightarrow R^4$ e $S: R^4 \rightarrow R^4$ e poiché $R^4 = \sigma \oplus \sigma ^⊥$ posso dire che poiché $P$ è la proiezione su $\sigma ^⊥$ allora $ker(P)=\sigma$ e $\sigma ^⊥$ è l'autospazio di $P$ relativo all'autovalore 1, mentre poiché $S$ è la riflessione su $\sigma$, essendo $\forall v \in R^4 S(v)=2P(v)-v$, $\sigma ^⊥$ è l'autospazio relativo all'autovalore $1$ mentre $\sigma$ è l'autospazio relativo all'autovalore $-1$. Questa premessa mi permette di rappresentare i due operatori nella base di autovettori $B = {v_1,v_2,v_3,v_4}$ che avevo trovato prima, data dall'unione delle basi di $\sigma$ e $\sigma ^⊥$, ottenendo due le due matrici diagonali $M_B(S) = diag(-1,-1,1,1)$ e $M_B(S)=diag(0,0,1,1)$. A questo punto le matrici che rappresentano $S$ e $P$ nella base canonica si ottengono con la formula del cambio base. A questo punto la domanda è questa: é corretto supporre che i due operatori siano diagonalizzabili sempre in senso generale o sono stato "fortunato" in questo caso? Dunque questo metodo, se corretto, può essere sempre applicato?
Per quanto riguarda poi l'ultimo punto per dire che il sottospazio è invariate basta applicare l'operatore $S$ ai vettori della base?
Risposte
Mi sembra la solita domanda sulla commutatività di mappe lineari che è equivalente alla loro diagonalizzabilità simultanea, che in questo caso è praticamente evidente dalla definizione intrinseca.
Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ su $K$, $W$ un suo sottospazio, considera la proiezione $P_W$ su W, da un lato, e la simmetria rispetto a $W$, dall'altro. Completando \(W = \langle w_1,\dots,w_k\rangle\) a una base \(\{w_1,\dots,w_k,v_{k+1},\dots,v_n\}\) (aggiungendo una base di \(W^\perp\)), ottieni una base \(\mathcal B_W\) di $V$, nella quale $P$ ha matrice \(\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)\), e $S_W$ ha matrice \(\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)\). Evidentemente $SP-PS=0$.
Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ su $K$, $W$ un suo sottospazio, considera la proiezione $P_W$ su W, da un lato, e la simmetria rispetto a $W$, dall'altro. Completando \(W = \langle w_1,\dots,w_k\rangle\) a una base \(\{w_1,\dots,w_k,v_{k+1},\dots,v_n\}\) (aggiungendo una base di \(W^\perp\)), ottieni una base \(\mathcal B_W\) di $V$, nella quale $P$ ha matrice \(\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)\), e $S_W$ ha matrice \(\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\right)\). Evidentemente $SP-PS=0$.
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