[Spazi Vettoriali] Intersezione

[Flamber]

Ho un dubbio su questo esercizio, V e W sono due spazi vettoriali che per comodità scrivo impropriamente così:

$V=(x,y,y+x)$
$W=(a,b,-a-b)$

l'intersezione tra questi due spazi è data da:


$x=a$
$y=b$
$y+x=-a-b$

e quindi

$x=a$
$y=b$
$b=-a$

L'intersezione dovrebbe quindi essere, usando delle nuove variabili:
$(∂,–∂,π)$

dato che non ho alcuna informazione sul terzo termine del vettore

invece il libro dice che la soluzione è:

$(∂,-∂,0)$

dove sbaglio?

[Gi81]

Scrivendo in quel modo hai fatto confusione.

Meglio scrivere così: \( V = \left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^3| z = x+y \right\}\); \( W = \left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^3| z = -x-y \right\} \).

Se \( \underline{v} \in V \cap W\), allora \( \underline{v}= \left( x_{\underline{v}}, y_{\underline{v}}, z_{\underline{v}} \right)\) con \( z_{\underline{v}}= x_{\underline{v}}+ y_{\underline{v}} \) e anche \( z_{\underline{v}}= -x_{\underline{v}}- y_{\underline{v}} \).

Ciò significa che \( x_{\underline{v}}+ y_{\underline{v}} = -x_{\underline{v}}- y_{\underline{v}} \), cioè che \(x_{\underline{v}}= - y_{\underline{v}}\).
Eccetera eccetera

[Flamber]

Ah ok scusate, personalmente trovo più chiaro utilizzare un simbolo totalmente diverso per le variabili di due sottospazi diversi, comunque la sostanza non cambia, l'intersezione tra i due spazi vettoriali è:

$(x,-x,y)$ oppure $(x,-x,0)$ ???

[Gi81]

Ci puoi arrivare da solo

[Flamber]

si certo, i miei calcoli mi portano a $(x,-x,y)$ perché non ho alcuna indicazione sul terzo termine, ma il risultato del libro dice $(x,-x,0)$, vi assicuro che se il mio risultato fosse stato lo stesso del libro non avrei avuto il benché minimo dubbio

[Gi81]

Procedi partendo dai risultati che ho trovato. Vai avanti.
Quanto viene $z_(ulv)$?

[Flamber]

Ok allora è 0, ma è un modo di operare che non ho mai usato, dove posso trovare una generalizzazione di questo esempio? Perché sul mio libro c'è scritto di uguagliare ogni termine, ma così a quanto pare si perde qualche informazione, che ragionandoci un po' su tra l'altro si vede che se i primi due termini sono uguali in valore assoluto ma di segno discorde, il terzo sarà necessariamente 0.

grazie per l'aiuto

[Flamber]

Si comunue ho capito, dopo aver uguagliato termine a termine, mi basta andare a sostituire in un dei due vettori; era un po' che non toccavo gli spazi vettoriali, grazie mille, il tuo aiuto è stat molto più utile di una semplice soluzione dell'esercizio

[Gi81]

Comunque, non è che il procedimento che hai fatto tu sia sbagliato.
Semplicemente, non hai mai dato un nome alla terza componente. E' stato questo a complicarti le cose.

Ciao, buon proseguimento!