Spazi vettoriali e vettore di norma minima
Ciao,
ho bisogno un piccolo aiuto per capire un passaggio di una dimostrazione. Ho uno spazio vettoriale dato da $Span{Ap_0,...,Ap_k}$ dove $A$ è una matrice simmetrica e i $p_i$ sono A-ortogonali tra loro cioè $p_iAp_j=0$ per ogni $i \ne j$.
La dimostrazione in questione dice che un vettore $r$ appartenente allo spazio detto sopra e ortogonale allo stesso allora è di norma minima.
Perchè? c'è un teorema? sui miei libri di algebra non lo trovo. Ho il Lang, l'Abate e il Bosch.
Grazie mille.
ho bisogno un piccolo aiuto per capire un passaggio di una dimostrazione. Ho uno spazio vettoriale dato da $Span{Ap_0,...,Ap_k}$ dove $A$ è una matrice simmetrica e i $p_i$ sono A-ortogonali tra loro cioè $p_iAp_j=0$ per ogni $i \ne j$.
La dimostrazione in questione dice che un vettore $r$ appartenente allo spazio detto sopra e ortogonale allo stesso allora è di norma minima.
Perchè? c'è un teorema? sui miei libri di algebra non lo trovo. Ho il Lang, l'Abate e il Bosch.
Grazie mille.
Risposte
Si, è un fatto di spazi a prodotto scalare che si usa anche nell'ambito infinito-dimensionale (spazi di Hilbert). Ma non lo hai enunciato bene, tu dici "un vettore appartenente allo spazio e ortogonale allo stesso": l'unico vettore con questa proprietà è il vettore nullo (che è evidentemente di norma minima ma in modo banale).
La proposizione vera sul rapporto ortogonalità-minimo delle distanze è questa:
se $V$ è uno spazio vettoriale reale o complesso dotato di prodotto scalare $\langle, \rangle$, $W$ è un sottospazio vettoriale e $p$ è un elemento di $V$, allora se esiste(*) un vettore $w_0\inW$ tale che $||v-w_0||="min"{||v-w||\ :\ w\inW}$, risulta essere $v-w_0\botW$.
In termini geometrici l'unico vettore a minimizzare la distanza punto-sottospazio lineare è la proiezione ortogonale.
Sul Lang mi pare che questa proposizione non ci sia. La trovi invece, approfonditamente spiegata, sull'Herstein Algebra a pagina 215 (Teorema 4.4.3). Mi rendo conto che la mia spiegazione è piuttosto frettolosa, spero ti sia sufficiente, in questo momento non ho molto tempo, purtroppo.
____________________________________
(*) Negli spazi di dimensione finita un vettore simile esiste sempre, ed è la "vecchia" proiezione ortogonale che hai sicuramente studiato nei corsi di geometria.
La proposizione vera sul rapporto ortogonalità-minimo delle distanze è questa:
se $V$ è uno spazio vettoriale reale o complesso dotato di prodotto scalare $\langle, \rangle$, $W$ è un sottospazio vettoriale e $p$ è un elemento di $V$, allora se esiste(*) un vettore $w_0\inW$ tale che $||v-w_0||="min"{||v-w||\ :\ w\inW}$, risulta essere $v-w_0\botW$.
In termini geometrici l'unico vettore a minimizzare la distanza punto-sottospazio lineare è la proiezione ortogonale.
Sul Lang mi pare che questa proposizione non ci sia. La trovi invece, approfonditamente spiegata, sull'Herstein Algebra a pagina 215 (Teorema 4.4.3). Mi rendo conto che la mia spiegazione è piuttosto frettolosa, spero ti sia sufficiente, in questo momento non ho molto tempo, purtroppo.
____________________________________
(*) Negli spazi di dimensione finita un vettore simile esiste sempre, ed è la "vecchia" proiezione ortogonale che hai sicuramente studiato nei corsi di geometria.
Sono un po' in ritardo ma...grazie! perfetto, avevo solo bisogno di sapere dove cercare! dimostrazione finita!
a presto!
a presto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo